Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnre2csqlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnre2csqlem 30186
Description: Lemma for cnre2csqima 30187. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnre2csqlem.1 (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝐻𝐹)
cnre2csqlem.2 𝐹 Fn (ℝ × ℝ)
cnre2csqlem.3 𝐺 Fn V
cnre2csqlem.4 (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
cnre2csqlem.5 ((𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘(𝑥𝑦)) = ((𝐻𝑥) − (𝐻𝑦)))
Assertion
Ref Expression
cnre2csqlem ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → (abs‘(𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))) < 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem cnre2csqlem
StepHypRef Expression
1 cnre2csqlem.3 . . . . . . 7 𝐺 Fn V
2 ssv 3731 . . . . . . 7 (ℝ × ℝ) ⊆ V
3 fnssres 6117 . . . . . . 7 ((𝐺 Fn V ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ V) → (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
41, 2, 3mp2an 710 . . . . . 6 (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)
5 elpreima 6452 . . . . . 6 ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) ↔ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)))))
64, 5mp1i 13 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) ↔ (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)))))
76simplbda 655 . . . 4 (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ 𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)))) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)))
87ex 449 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))))
9 simp2 1129 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ))
10 fvres 6320 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = (𝐺𝑌))
119, 10syl 17 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = (𝐺𝑌))
1211eleq1d 2788 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)) ↔ (𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))))
13 simp1 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ))
14 fveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑋))
1514eleq1d 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐺𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐺𝑋) ∈ ℝ))
16 cnre2csqlem.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
1715, 16vtoclga 3376 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺𝑋) ∈ ℝ)
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺𝑋) ∈ ℝ)
19 simp3 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
2019rpred 11986 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ)
2118, 20resubcld 10571 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ)
2221rexrd 10202 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ*)
2318, 20readdcld 10182 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ)
2423rexrd 10202 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ*)
25 elioo2 12330 . . . . . . . . 9 ((((𝐺𝑋) − 𝐷) ∈ ℝ* ∧ ((𝐺𝑋) + 𝐷) ∈ ℝ*) → ((𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)) ↔ ((𝐺𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))))
2622, 24, 25syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)) ↔ ((𝐺𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))))
2726biimpa 502 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺𝑌) ∈ ℝ ∧ ((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷)))
2827simp2d 1135 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → ((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌))
2927simp3d 1136 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))
3028, 29jca 555 . . . . 5 (((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) ∧ (𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → (((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷)))
3130ex 449 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)) → (((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))))
3212, 31sylbid 230 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) ∈ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷)) → (((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))))
33 fveq2 6304 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑌))
3433eleq1d 2788 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → ((𝐺𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐺𝑌) ∈ ℝ))
3534, 16vtoclga 3376 . . . . 5 (𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐺𝑌) ∈ ℝ)
369, 35syl 17 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺𝑌) ∈ ℝ)
37 absdiflt 14177 . . . . 5 (((𝐺𝑌) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) < 𝐷 ↔ (((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷))))
3837biimprd 238 . . . 4 (((𝐺𝑌) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷)) → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) < 𝐷))
3936, 18, 20, 38syl3anc 1439 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((((𝐺𝑋) − 𝐷) < (𝐺𝑌) ∧ (𝐺𝑌) < ((𝐺𝑋) + 𝐷)) → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) < 𝐷))
408, 32, 393syld 60 . 2 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) < 𝐷))
41 cnre2csqlem.2 . . . . . . 7 𝐹 Fn (ℝ × ℝ)
42 fnfvelrn 6471 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹𝑌) ∈ ran 𝐹)
4341, 9, 42sylancr 698 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑌) ∈ ran 𝐹)
44 fnfvelrn 6471 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹𝑋) ∈ ran 𝐹)
4541, 13, 44sylancr 698 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑋) ∈ ran 𝐹)
46 oveq1 6772 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑌) → (𝑥𝑦) = ((𝐹𝑌) − 𝑦))
4746fveq2d 6308 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑌) → (𝐻‘(𝑥𝑦)) = (𝐻‘((𝐹𝑌) − 𝑦)))
48 fveq2 6304 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑌) → (𝐻𝑥) = (𝐻‘(𝐹𝑌)))
4948oveq1d 6780 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑌) → ((𝐻𝑥) − (𝐻𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻𝑦)))
5047, 49eqeq12d 2739 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑌) → ((𝐻‘(𝑥𝑦)) = ((𝐻𝑥) − (𝐻𝑦)) ↔ (𝐻‘((𝐹𝑌) − 𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻𝑦))))
51 oveq2 6773 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑋) → ((𝐹𝑌) − 𝑦) = ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))
5251fveq2d 6308 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑋) → (𝐻‘((𝐹𝑌) − 𝑦)) = (𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋))))
53 fveq2 6304 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑋) → (𝐻𝑦) = (𝐻‘(𝐹𝑋)))
5453oveq2d 6781 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑋) → ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻‘(𝐹𝑋))))
5552, 54eqeq12d 2739 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐹𝑋) → ((𝐻‘((𝐹𝑌) − 𝑦)) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻𝑦)) ↔ (𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻‘(𝐹𝑋)))))
56 cnre2csqlem.5 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘(𝑥𝑦)) = ((𝐻𝑥) − (𝐻𝑦)))
5750, 55, 56vtocl2ga 3378 . . . . . 6 (((𝐹𝑌) ∈ ran 𝐹 ∧ (𝐹𝑋) ∈ ran 𝐹) → (𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻‘(𝐹𝑋))))
5843, 45, 57syl2anc 696 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋))) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻‘(𝐹𝑋))))
59 cnre2csqlem.1 . . . . . . . 8 (𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝐻𝐹)
6059fveq1i 6305 . . . . . . 7 ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑌) = ((𝐻𝐹)‘𝑌)
61 fvco2 6387 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ)) → ((𝐻𝐹)‘𝑌) = (𝐻‘(𝐹𝑌)))
6241, 9, 61sylancr 698 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐻𝐹)‘𝑌) = (𝐻‘(𝐹𝑌)))
6360, 11, 623eqtr3a 2782 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺𝑌) = (𝐻‘(𝐹𝑌)))
6459fveq1i 6305 . . . . . . 7 ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = ((𝐻𝐹)‘𝑋)
65 fvres 6320 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = (𝐺𝑋))
6613, 65syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ))‘𝑋) = (𝐺𝑋))
67 fvco2 6387 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ × ℝ)) → ((𝐻𝐹)‘𝑋) = (𝐻‘(𝐹𝑋)))
6841, 13, 67sylancr 698 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐻𝐹)‘𝑋) = (𝐻‘(𝐹𝑋)))
6964, 66, 683eqtr3a 2782 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐺𝑋) = (𝐻‘(𝐹𝑋)))
7063, 69oveq12d 6783 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ((𝐻‘(𝐹𝑌)) − (𝐻‘(𝐹𝑋))))
7158, 70eqtr4d 2761 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋))) = ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)))
7271fveq2d 6308 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))) = (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))))
7372breq1d 4770 . 2 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))) < 𝐷 ↔ (abs‘((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋))) < 𝐷))
7440, 73sylibrd 249 1 ((𝑋 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑌 ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑌 ∈ ((𝐺 ↾ (ℝ × ℝ)) “ (((𝐺𝑋) − 𝐷)(,)((𝐺𝑋) + 𝐷))) → (abs‘(𝐻‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑋)))) < 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  Vcvv 3304  wss 3680   class class class wbr 4760   × cxp 5216  ccnv 5217  ran crn 5219  cres 5220  cima 5221  ccom 5222   Fn wfn 5996  cfv 6001  (class class class)co 6765  cr 10048   + caddc 10052  *cxr 10186   < clt 10187  cmin 10379  +crp 11946  (,)cioo 12289  abscabs 14094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-ioo 12293  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096
This theorem is referenced by:  cnre2csqima  30187
  Copyright terms: Public domain W3C validator