MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrehmeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnrehmeo 22487
Description: The canonical bijection from (ℝ × ℝ) to described in cnref1o 11655 is in fact a homeomorphism of the usual topologies on these sets. (It is also an isometry, if (ℝ × ℝ) is metrized with the l<SUP>2</SUP> norm.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnrehmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
cnrehmeo.2 𝐽 = (topGen‘ran (,))
cnrehmeo.3 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
cnrehmeo 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnrehmeo
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrehmeo.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 cnrehmeo.2 . . . . . . 7 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 retopon 22305 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
42, 3eqeltri 2679 . . . . . 6 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
54a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ))
6 cnrehmeo.3 . . . . . . . 8 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
76cnfldtop 22325 . . . . . . 7 𝐾 ∈ Top
8 cnrest2r 20839 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Top → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾t ℝ)) ⊆ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
97, 8mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾t ℝ)) ⊆ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
105, 5cnmpt1st 21219 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
116tgioo2 22342 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (𝐾t ℝ)
122, 11eqtri 2627 . . . . . . . 8 𝐽 = (𝐾t ℝ)
1312oveq2i 6534 . . . . . . 7 ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾t ℝ))
1410, 13syl6eleq 2693 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾t ℝ)))
159, 14sseldd 3564 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
166cnfldtopon 22324 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
1716a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
18 ax-icn 9847 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
1918a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → i ∈ ℂ)
205, 5, 17, 19cnmpt2c 21221 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ i) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
215, 5cnmpt2nd 21220 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2221, 13syl6eleq 2693 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (𝐾t ℝ)))
239, 22sseldd 3564 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
246mulcn 22405 . . . . . . 7 · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
2524a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
265, 5, 20, 23, 25cnmpt22f 21226 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (i · 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
276addcn 22403 . . . . . 6 + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
2827a1i 11 . . . . 5 (⊤ → + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
295, 5, 15, 26, 28cnmpt22f 21226 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
301, 29syl5eqel 2687 . . 3 (⊤ → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾))
311cnrecnv 13695 . . . 4 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
32 ref 13642 . . . . . . . 8 ℜ:ℂ⟶ℝ
3332a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℜ:ℂ⟶ℝ)
3433feqmptd 6140 . . . . . 6 (⊤ → ℜ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑧)))
35 recncf 22440 . . . . . . 7 ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
36 ssid 3582 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
37 ax-resscn 9845 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
3816toponunii 20485 . . . . . . . . . . . 12 ℂ = 𝐾
3938restid 15859 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) → (𝐾t ℂ) = 𝐾)
4016, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝐾t ℂ) = 𝐾
4140eqcomi 2614 . . . . . . . . 9 𝐾 = (𝐾t ℂ)
426, 41, 12cncfcn 22447 . . . . . . . 8 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) = (𝐾 Cn 𝐽))
4336, 37, 42mp2an 703 . . . . . . 7 (ℂ–cn→ℝ) = (𝐾 Cn 𝐽)
4435, 43eleqtri 2681 . . . . . 6 ℜ ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
4534, 44syl6eqelr 2692 . . . . 5 (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
46 imf 13643 . . . . . . . 8 ℑ:ℂ⟶ℝ
4746a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℑ:ℂ⟶ℝ)
4847feqmptd 6140 . . . . . 6 (⊤ → ℑ = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑧)))
49 imcncf 22441 . . . . . . 7 ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
5049, 43eleqtri 2681 . . . . . 6 ℑ ∈ (𝐾 Cn 𝐽)
5148, 50syl6eqelr 2692 . . . . 5 (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑧)) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
5217, 45, 51cnmpt1t 21216 . . . 4 (⊤ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ×t 𝐽)))
5331, 52syl5eqel 2687 . . 3 (⊤ → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ×t 𝐽)))
54 ishmeo 21310 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (𝐾 Cn (𝐽 ×t 𝐽))))
5530, 53, 54sylanbrc 694 . 2 (⊤ → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾))
5655trud 1483 1 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽)Homeo𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1975  wss 3535  cop 4126  cmpt 4633  ccnv 5023  ran crn 5025  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  cmpt2 6525  cc 9786  cr 9787  ici 9790   + caddc 9791   · cmul 9793  (,)cioo 11998  cre 13627  cim 13628  t crest 15846  TopOpenctopn 15847  topGenctg 15863  fldccnfld 19509  Topctop 20455  TopOnctopon 20456   Cn ccn 20776   ×t ctx 21111  Homeochmeo 21304  cnccncf 22414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-fi 8173  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ioo 12002  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-hom 15735  df-cco 15736  df-rest 15848  df-topn 15849  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-topgen 15869  df-pt 15870  df-prds 15873  df-xrs 15927  df-qtop 15932  df-imas 15933  df-xps 15935  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-submnd 17101  df-mulg 17306  df-cntz 17515  df-cmn 17960  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-cnfld 19510  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-topsp 20462  df-cn 20779  df-cnp 20780  df-tx 21113  df-hmeo 21306  df-xms 21872  df-ms 21873  df-tms 21874  df-cncf 22416
This theorem is referenced by:  cnheiborlem  22488  mbfimaopnlem  23141  tpr2rico  29088
  Copyright terms: Public domain W3C validator