Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnres2 33194
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cnres2.1 𝑋 = 𝐽
cnres2.2 𝑌 = 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnres2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem cnres2
StepHypRef Expression
1 simp3l 1087 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 simp2l 1085 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐴𝑋)
3 cnres2.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
43cnrest 20999 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
51, 2, 4syl2anc 692 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
6 simp1r 1084 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Top)
7 cnres2.2 . . . . 5 𝑌 = 𝐾
87toptopon 20648 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
96, 8sylib 208 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
10 df-ima 5087 . . . 4 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
11 simp3r 1088 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
123, 7cnf 20960 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋𝑌)
13 ffun 6005 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋𝑌 → Fun 𝐹)
141, 12, 133syl 18 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → Fun 𝐹)
15 fdm 6008 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
161, 12, 153syl 18 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → dom 𝐹 = 𝑋)
172, 16sseqtr4d 3621 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
18 funimass4 6204 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
1914, 17, 18syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
2011, 19mpbird 247 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝐹𝐴) ⊆ 𝐵)
2110, 20syl5eqssr 3629 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → ran (𝐹𝐴) ⊆ 𝐵)
22 simp2r 1086 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → 𝐵𝑌)
23 cnrest2 21000 . . 3 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ ran (𝐹𝐴) ⊆ 𝐵𝐵𝑌) → ((𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t 𝐵))))
249, 21, 22, 23syl3anc 1323 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → ((𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t 𝐵))))
255, 24mpbid 222 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌) ∧ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wss 3555   cuni 4402  dom cdm 5074  ran crn 5075  cres 5076  cima 5077  Fun wfun 5841  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  t crest 16002  Topctop 20617  TopOnctopon 20618   Cn ccn 20938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-fin 7903  df-fi 8261  df-rest 16004  df-topgen 16025  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-cn 20941
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator