MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrest Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnrest 21070
Description: Continuity of a restriction from a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnrest.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
cnrest ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))

Proof of Theorem cnrest
Dummy variable 𝑜 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrest.1 . . . . 5 𝑋 = 𝐽
2 eqid 2620 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
31, 2cnf 21031 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋 𝐾)
43adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐹:𝑋 𝐾)
5 simpr 477 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
64, 5fssresd 6058 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴):𝐴 𝐾)
7 cnvresima 5611 . . . 4 ((𝐹𝐴) “ 𝑜) = ((𝐹𝑜) ∩ 𝐴)
8 cntop1 21025 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
98adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
109adantr 481 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
111topopn 20692 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
12 ssexg 4795 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑋𝑋𝐽) → 𝐴 ∈ V)
1312ancoms 469 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐽𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ V)
1411, 13sylan 488 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ V)
158, 14sylan 488 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ V)
1615adantr 481 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐾) → 𝐴 ∈ V)
17 cnima 21050 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑜𝐾) → (𝐹𝑜) ∈ 𝐽)
1817adantlr 750 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐾) → (𝐹𝑜) ∈ 𝐽)
19 elrestr 16070 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ (𝐹𝑜) ∈ 𝐽) → ((𝐹𝑜) ∩ 𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
2010, 16, 18, 19syl3anc 1324 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐾) → ((𝐹𝑜) ∩ 𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
217, 20syl5eqel 2703 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐾) → ((𝐹𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽t 𝐴))
2221ralrimiva 2963 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽t 𝐴))
231toptopon 20703 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
248, 23sylib 208 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
25 resttopon 20946 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
2624, 25sylan 488 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
27 cntop2 21026 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
2827adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐾 ∈ Top)
292toptopon 20703 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
3028, 29sylib 208 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
31 iscn 21020 . . 3 (((𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾)) → ((𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ((𝐹𝐴):𝐴 𝐾 ∧ ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽t 𝐴))))
3226, 30, 31syl2anc 692 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ((𝐹𝐴):𝐴 𝐾 ∧ ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽t 𝐴))))
336, 22, 32mpbir2and 956 1 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  Vcvv 3195  cin 3566  wss 3567   cuni 4427  ccnv 5103  cres 5106  cima 5107  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  t crest 16062  Topctop 20679  TopOnctopon 20696   Cn ccn 21009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-fin 7944  df-fi 8302  df-rest 16064  df-topgen 16085  df-top 20680  df-topon 20697  df-bases 20731  df-cn 21012
This theorem is referenced by:  resthauslem  21148  imacmp  21181  connima  21209  kgencn2  21341  kgencn3  21342  xkopjcn  21440  cnmpt1res  21460  cnmpt2res  21461  qtoprest  21501  hmeores  21555  ftalem3  24782  rmulccn  29948  raddcn  29949  xrge0mulc1cn  29961  rrhre  30039  cvmliftmolem1  31237  cvmlift2lem9a  31259  cvmlift2lem9  31267  ivthALT  32305  broucube  33414  areacirclem2  33472  cnres2  33533  stoweidlem28  40008  dirkercncflem2  40084
  Copyright terms: Public domain W3C validator