Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnsrexpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnsrexpcl 37554
 Description: Exponentiation is closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsrexpcl.s (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
cnsrexpcl.x (𝜑𝑋𝑆)
cnsrexpcl.y (𝜑𝑌 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
cnsrexpcl (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem cnsrexpcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsrexpcl.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ ℕ0)
2 oveq2 6643 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (𝑋𝑎) = (𝑋↑0))
32eleq1d 2684 . . . 4 (𝑎 = 0 → ((𝑋𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑0) ∈ 𝑆))
43imbi2d 330 . . 3 (𝑎 = 0 → ((𝜑 → (𝑋𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑0) ∈ 𝑆)))
5 oveq2 6643 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝑋𝑎) = (𝑋𝑏))
65eleq1d 2684 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑋𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋𝑏) ∈ 𝑆))
76imbi2d 330 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → ((𝜑 → (𝑋𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋𝑏) ∈ 𝑆)))
8 oveq2 6643 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑋𝑎) = (𝑋↑(𝑏 + 1)))
98eleq1d 2684 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝑋𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆))
109imbi2d 330 . . 3 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝜑 → (𝑋𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
11 oveq2 6643 . . . . 5 (𝑎 = 𝑌 → (𝑋𝑎) = (𝑋𝑌))
1211eleq1d 2684 . . . 4 (𝑎 = 𝑌 → ((𝑋𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋𝑌) ∈ 𝑆))
1312imbi2d 330 . . 3 (𝑎 = 𝑌 → ((𝜑 → (𝑋𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ 𝑆)))
14 cnsrexpcl.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
15 cnfldbas 19731 . . . . . . . 8 ℂ = (Base‘ℂfld)
1615subrgss 18762 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ⊆ ℂ)
1714, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
18 cnsrexpcl.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑆)
1917, 18sseldd 3596 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
2019exp0d 12985 . . . 4 (𝜑 → (𝑋↑0) = 1)
21 cnfld1 19752 . . . . . 6 1 = (1r‘ℂfld)
2221subrg1cl 18769 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 ∈ 𝑆)
2314, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
2420, 23eqeltrd 2699 . . 3 (𝜑 → (𝑋↑0) ∈ 𝑆)
25193ad2ant2 1081 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ (𝑋𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂ)
26 simp1 1059 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ (𝑋𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑏 ∈ ℕ0)
2725, 26expp1d 12992 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ (𝑋𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑋↑(𝑏 + 1)) = ((𝑋𝑏) · 𝑋))
28143ad2ant2 1081 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ (𝑋𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
29 simp3 1061 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ (𝑋𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑋𝑏) ∈ 𝑆)
30183ad2ant2 1081 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ (𝑋𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑋𝑆)
31 cnfldmul 19733 . . . . . . . 8 · = (.r‘ℂfld)
3231subrgmcl 18773 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑋𝑏) ∈ 𝑆𝑋𝑆) → ((𝑋𝑏) · 𝑋) ∈ 𝑆)
3328, 29, 30, 32syl3anc 1324 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ (𝑋𝑏) ∈ 𝑆) → ((𝑋𝑏) · 𝑋) ∈ 𝑆)
3427, 33eqeltrd 2699 . . . . 5 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ (𝑋𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)
35343exp 1262 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((𝑋𝑏) ∈ 𝑆 → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
3635a2d 29 . . 3 (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (𝑋𝑏) ∈ 𝑆) → (𝜑 → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
374, 7, 10, 13, 24, 36nn0ind 11457 . 2 (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ 𝑆))
381, 37mpcom 38 1 (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1036   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ⊆ wss 3567  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  ℂcc 9919  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926  ℕ0cn0 11277  ↑cexp 12843  SubRingcsubrg 18757  ℂfldccnfld 19727 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-addf 10000  ax-mulf 10001 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-seq 12785  df-exp 12844  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-0g 16083  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-subg 17572  df-cmn 18176  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-cring 18531  df-subrg 18759  df-cnfld 19728 This theorem is referenced by:  cnsrplycl  37556
 Copyright terms: Public domain W3C validator