Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnsrplycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnsrplycl 37257
Description: Polynomials are closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsrplycl.s (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
cnsrplycl.p (𝜑𝑃 ∈ (Poly‘𝐶))
cnsrplycl.x (𝜑𝑋𝑆)
cnsrplycl.c (𝜑𝐶𝑆)
Assertion
Ref Expression
cnsrplycl (𝜑 → (𝑃𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem cnsrplycl
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsrplycl.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑆)
2 cnsrplycl.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
3 cnfldbas 19690 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
43subrgss 18721 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ⊆ ℂ)
52, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 plyss 23893 . . . . 5 ((𝐶𝑆𝑆 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝐶) ⊆ (Poly‘𝑆))
71, 5, 6syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (Poly‘𝐶) ⊆ (Poly‘𝑆))
8 cnsrplycl.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (Poly‘𝐶))
97, 8sseldd 3589 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (Poly‘𝑆))
10 cnsrplycl.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
115, 10sseldd 3589 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
12 eqid 2621 . . . 4 (coeff‘𝑃) = (coeff‘𝑃)
13 eqid 2621 . . . 4 (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)
1412, 13coeid2 23933 . . 3 ((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑃𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))(((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))
159, 11, 14syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝑃𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))(((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))
16 fzfid 12728 . . 3 (𝜑 → (0...(deg‘𝑃)) ∈ Fin)
172adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
18 subrgsubg 18726 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
19 cnfld0 19710 . . . . . . . . 9 0 = (0g‘ℂfld)
2019subg0cl 17542 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑆)
212, 18, 203syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
2212coef2 23925 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → (coeff‘𝑃):ℕ0𝑆)
239, 21, 22syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (coeff‘𝑃):ℕ0𝑆)
2423adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → (coeff‘𝑃):ℕ0𝑆)
25 elfznn0 12390 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2625adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2724, 26ffvelrnd 6326 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → ((coeff‘𝑃)‘𝑘) ∈ 𝑆)
2810adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → 𝑋𝑆)
2917, 28, 26cnsrexpcl 37255 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → (𝑋𝑘) ∈ 𝑆)
30 cnfldmul 19692 . . . . 5 · = (.r‘ℂfld)
3130subrgmcl 18732 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ((coeff‘𝑃)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∧ (𝑋𝑘) ∈ 𝑆) → (((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) ∈ 𝑆)
3217, 27, 29, 31syl3anc 1323 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → (((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) ∈ 𝑆)
332, 16, 32fsumcnsrcl 37256 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))(((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) ∈ 𝑆)
3415, 33eqeltrd 2698 1 (𝜑 → (𝑃𝑋) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3560  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  0cc0 9896   · cmul 9901  0cn0 11252  ...cfz 12284  cexp 12816  Σcsu 14366  SubGrpcsubg 17528  SubRingcsubrg 18716  fldccnfld 19686  Polycply 23878  coeffccoe 23880  degcdgr 23881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-subg 17531  df-cmn 18135  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-cring 18490  df-subrg 18718  df-cnfld 19687  df-0p 23377  df-ply 23882  df-coe 23884  df-dgr 23885
This theorem is referenced by:  rngunsnply  37263
  Copyright terms: Public domain W3C validator