Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnstrcvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnstrcvs 22849
 Description: The set of complex numbers is a complex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (Revised by AV, 20-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
cnlmod.w 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
Assertion
Ref Expression
cnstrcvs 𝑊 ∈ ℂVec

Proof of Theorem cnstrcvs
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlmod.w . . . . 5 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
21cnlmod 22848 . . . 4 𝑊 ∈ LMod
3 cnfldex 19668 . . . . . 6 fld ∈ V
4 cnfldbas 19669 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
54ressid 15856 . . . . . 6 (ℂfld ∈ V → (ℂflds ℂ) = ℂfld)
63, 5ax-mp 5 . . . . 5 (ℂflds ℂ) = ℂfld
76eqcomi 2630 . . . 4 fld = (ℂflds ℂ)
8 id 22 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
9 addcl 9962 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
10 negcl 10225 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
11 ax-1cn 9938 . . . . 5 1 ∈ ℂ
12 mulcl 9964 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
138, 9, 10, 11, 12cnsubrglem 19715 . . . 4 ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)
14 qdass 4258 . . . . . . . 8 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
151, 14eqtri 2643 . . . . . . 7 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
1615lmodsca 15941 . . . . . 6 (ℂfld ∈ V → ℂfld = (Scalar‘𝑊))
173, 16ax-mp 5 . . . . 5 fld = (Scalar‘𝑊)
1817isclmi 22785 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ℂfld = (ℂflds ℂ) ∧ ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
192, 7, 13, 18mp3an 1421 . . 3 𝑊 ∈ ℂMod
20 cndrng 19694 . . . 4 fld ∈ DivRing
2117islvec 19023 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ ℂfld ∈ DivRing))
222, 20, 21mpbir2an 954 . . 3 𝑊 ∈ LVec
23 elin 3774 . . 3 (𝑊 ∈ (ℂMod ∩ LVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec))
2419, 22, 23mpbir2an 954 . 2 𝑊 ∈ (ℂMod ∩ LVec)
25 df-cvs 22832 . 2 ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
2624, 25eleqtrri 2697 1 𝑊 ∈ ℂVec
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186   ∪ cun 3553   ∩ cin 3554  {csn 4148  {cpr 4150  {ctp 4152  ⟨cop 4154  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878   + caddc 9883   · cmul 9885  ndxcnx 15778  Basecbs 15781   ↾s cress 15782  +gcplusg 15862  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  DivRingcdr 18668  SubRingcsubrg 18697  LModclmod 18784  LVecclvec 19021  ℂfldccnfld 19665  ℂModcclm 22770  ℂVecccvs 22831 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-subg 17512  df-cmn 18116  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-drng 18670  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lvec 19022  df-cnfld 19666  df-clm 22771  df-cvs 22832 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator