MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnsubdrglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnsubdrglem 19729
Description: Lemma for resubdrg 19886 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsubglem.1 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℂ)
cnsubglem.2 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubglem.3 (𝑥𝐴 → -𝑥𝐴)
cnsubrglem.4 1 ∈ 𝐴
cnsubrglem.5 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubrglem.6 ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnsubdrglem (𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂflds 𝐴) ∈ DivRing)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem cnsubdrglem
StepHypRef Expression
1 cnsubglem.1 . . 3 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℂ)
2 cnsubglem.2 . . 3 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
3 cnsubglem.3 . . 3 (𝑥𝐴 → -𝑥𝐴)
4 cnsubrglem.4 . . 3 1 ∈ 𝐴
5 cnsubrglem.5 . . 3 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
61, 2, 3, 4, 5cnsubrglem 19728 . 2 𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld)
7 cndrng 19707 . . . 4 fld ∈ DivRing
8 eqid 2621 . . . . 5 (ℂflds 𝐴) = (ℂflds 𝐴)
9 cnfld0 19702 . . . . 5 0 = (0g‘ℂfld)
10 eqid 2621 . . . . 5 (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
118, 9, 10issubdrg 18737 . . . 4 ((ℂfld ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld)) → ((ℂflds 𝐴) ∈ DivRing ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))
127, 6, 11mp2an 707 . . 3 ((ℂflds 𝐴) ∈ DivRing ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
13 cnring 19700 . . . . 5 fld ∈ Ring
141ssriv 3591 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ ℂ
15 ssdif 3728 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐴 ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐴 ∖ {0}) ⊆ (ℂ ∖ {0})
1716sseli 3583 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
18 cnfldbas 19682 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
1918, 9, 7drngui 18685 . . . . . 6 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
20 cnflddiv 19708 . . . . . 6 / = (/r‘ℂfld)
21 cnfld1 19703 . . . . . 6 1 = (1r‘ℂfld)
2218, 19, 20, 21, 10ringinvdv 18626 . . . . 5 ((ℂfld ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
2313, 17, 22sylancr 694 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) = (1 / 𝑥))
24 eldifsn 4292 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ≠ 0))
25 cnsubrglem.6 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
2624, 25sylbi 207 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐴)
2723, 26eqeltrd 2698 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → ((invr‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
2812, 27mprgbir 2922 . 2 (ℂflds 𝐴) ∈ DivRing
296, 28pm3.2i 471 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂflds 𝐴) ∈ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  cdif 3556  wss 3559  {csn 4153  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893  -cneg 10219   / cdiv 10636  s cress 15793  Ringcrg 18479  invrcinvr 18603  DivRingcdr 18679  SubRingcsubrg 18708  fldccnfld 19678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-fz 12277  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-0g 16034  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-subg 17523  df-cmn 18127  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-cring 18482  df-oppr 18555  df-dvdsr 18573  df-unit 18574  df-invr 18604  df-dvr 18615  df-drng 18681  df-subrg 18710  df-cnfld 19679
This theorem is referenced by:  qsubdrg  19730  resubdrg  19886
  Copyright terms: Public domain W3C validator