MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnsubrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnsubrg 19725
Description: There are no subrings of the complex numbers strictly between and . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnsubrg ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → 𝑅 ∈ {ℝ, ℂ})

Proof of Theorem cnsubrg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssdif0 3916 . . . 4 (𝑅 ⊆ ℝ ↔ (𝑅 ∖ ℝ) = ∅)
2 simpr 477 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ⊆ ℝ) → 𝑅 ⊆ ℝ)
3 simplr 791 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ⊆ ℝ) → ℝ ⊆ 𝑅)
42, 3eqssd 3600 . . . . 5 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ⊆ ℝ) → 𝑅 = ℝ)
54orcd 407 . . . 4 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑅 ⊆ ℝ) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
61, 5sylan2br 493 . . 3 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑅 ∖ ℝ) = ∅) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
7 n0 3907 . . . 4 ((𝑅 ∖ ℝ) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ))
8 simpll 789 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld))
9 cnfldbas 19669 . . . . . . . . . . 11 ℂ = (Base‘ℂfld)
109subrgss 18702 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑅 ⊆ ℂ)
118, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑅 ⊆ ℂ)
12 replim 13790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 = ((ℜ‘𝑦) + (i · (ℑ‘𝑦))))
1312ad2antll 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑦 = ((ℜ‘𝑦) + (i · (ℑ‘𝑦))))
14 simpll 789 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld))
15 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ℝ ⊆ 𝑅)
16 recl 13784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑦) ∈ ℝ)
1716ad2antll 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (ℜ‘𝑦) ∈ ℝ)
1815, 17sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (ℜ‘𝑦) ∈ 𝑅)
19 ax-icn 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 i ∈ ℂ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → i ∈ ℂ)
21 eldifi 3710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) → 𝑥𝑅)
2221adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑥𝑅)
2311, 22sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
24 imcl 13785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
2625recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ)
27 eldifn 3711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
2827adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
29 reim0b 13793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) = 0))
3029necon3bbid 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℂ → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) ≠ 0))
3123, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (¬ 𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) ≠ 0))
3228, 31mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℑ‘𝑥) ≠ 0)
3320, 26, 32divcan4d 10751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ((i · (ℑ‘𝑥)) / (ℑ‘𝑥)) = i)
34 mulcl 9964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝑥)) ∈ ℂ)
3519, 26, 34sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (i · (ℑ‘𝑥)) ∈ ℂ)
3635, 26, 32divrecd 10748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ((i · (ℑ‘𝑥)) / (ℑ‘𝑥)) = ((i · (ℑ‘𝑥)) · (1 / (ℑ‘𝑥))))
3733, 36eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → i = ((i · (ℑ‘𝑥)) · (1 / (ℑ‘𝑥))))
3823recld 13868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℜ‘𝑥) ∈ ℝ)
3938recnd 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (ℜ‘𝑥) ∈ ℂ)
4023, 39negsubd 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑥 + -(ℜ‘𝑥)) = (𝑥 − (ℜ‘𝑥)))
41 replim 13790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 = ((ℜ‘𝑥) + (i · (ℑ‘𝑥))))
4223, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑥 = ((ℜ‘𝑥) + (i · (ℑ‘𝑥))))
4342oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑥 − (ℜ‘𝑥)) = (((ℜ‘𝑥) + (i · (ℑ‘𝑥))) − (ℜ‘𝑥)))
4439, 35pncan2d 10338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (((ℜ‘𝑥) + (i · (ℑ‘𝑥))) − (ℜ‘𝑥)) = (i · (ℑ‘𝑥)))
4540, 43, 443eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑥 + -(ℜ‘𝑥)) = (i · (ℑ‘𝑥)))
46 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ℝ ⊆ 𝑅)
4738renegcld 10401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → -(ℜ‘𝑥) ∈ ℝ)
4846, 47sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → -(ℜ‘𝑥) ∈ 𝑅)
49 cnfldadd 19670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 + = (+g‘ℂfld)
5049subrgacl 18712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥𝑅 ∧ -(ℜ‘𝑥) ∈ 𝑅) → (𝑥 + -(ℜ‘𝑥)) ∈ 𝑅)
518, 22, 48, 50syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑥 + -(ℜ‘𝑥)) ∈ 𝑅)
5245, 51eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (i · (ℑ‘𝑥)) ∈ 𝑅)
5325, 32rereccld 10796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (1 / (ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ)
5446, 53sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (1 / (ℑ‘𝑥)) ∈ 𝑅)
55 cnfldmul 19671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 · = (.r‘ℂfld)
5655subrgmcl 18713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (i · (ℑ‘𝑥)) ∈ 𝑅 ∧ (1 / (ℑ‘𝑥)) ∈ 𝑅) → ((i · (ℑ‘𝑥)) · (1 / (ℑ‘𝑥))) ∈ 𝑅)
578, 52, 54, 56syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ((i · (ℑ‘𝑥)) · (1 / (ℑ‘𝑥))) ∈ 𝑅)
5837, 57eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → i ∈ 𝑅)
5958adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → i ∈ 𝑅)
60 imcl 13785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑦) ∈ ℝ)
6160ad2antll 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (ℑ‘𝑦) ∈ ℝ)
6215, 61sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (ℑ‘𝑦) ∈ 𝑅)
6355subrgmcl 18713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ i ∈ 𝑅 ∧ (ℑ‘𝑦) ∈ 𝑅) → (i · (ℑ‘𝑦)) ∈ 𝑅)
6414, 59, 62, 63syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (i · (ℑ‘𝑦)) ∈ 𝑅)
6549subrgacl 18712 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℜ‘𝑦) ∈ 𝑅 ∧ (i · (ℑ‘𝑦)) ∈ 𝑅) → ((ℜ‘𝑦) + (i · (ℑ‘𝑦))) ∈ 𝑅)
6614, 18, 64, 65syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((ℜ‘𝑦) + (i · (ℑ‘𝑦))) ∈ 𝑅)
6713, 66eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑦𝑅)
6867expr 642 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦𝑅))
6968ssrdv 3589 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → ℂ ⊆ 𝑅)
7011, 69eqssd 3600 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → 𝑅 = ℂ)
7170olcd 408 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
7271ex 450 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → (𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ)))
7372exlimdv 1858 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ)))
7473imp 445 . . . 4 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑅 ∖ ℝ)) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
757, 74sylan2b 492 . . 3 (((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) ∧ (𝑅 ∖ ℝ) ≠ ∅) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
766, 75pm2.61dane 2877 . 2 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ))
77 elprg 4167 . . 3 (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑅 ∈ {ℝ, ℂ} ↔ (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ)))
7877adantr 481 . 2 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → (𝑅 ∈ {ℝ, ℂ} ↔ (𝑅 = ℝ ∨ 𝑅 = ℂ)))
7976, 78mpbird 247 1 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝ ⊆ 𝑅) → 𝑅 ∈ {ℝ, ℂ})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  cdif 3552  wss 3555  c0 3891  {cpr 4150  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881  ici 9882   + caddc 9883   · cmul 9885  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  cre 13771  cim 13772  SubRingcsubrg 18697  fldccnfld 19665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-subg 17512  df-mgp 18411  df-ring 18470  df-subrg 18699  df-cnfld 19666
This theorem is referenced by:  cncdrg  23063
  Copyright terms: Public domain W3C validator