MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnt1 21067
Description: The preimage of a T1 topology under an injective map is T1. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnt1 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Fre)

Proof of Theorem cnt1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 20957 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
213ad2ant3 1082 . 2 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Top)
3 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 𝐽 = 𝐽
4 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 𝐾 = 𝐾
53, 4cnf 20963 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
653ad2ant3 1082 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
7 ffn 6004 . . . . . . . 8 (𝐹: 𝐽 𝐾𝐹 Fn 𝐽)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹 Fn 𝐽)
9 fnsnfv 6217 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐽𝑥 𝐽) → {(𝐹𝑥)} = (𝐹 “ {𝑥}))
108, 9sylan 488 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → {(𝐹𝑥)} = (𝐹 “ {𝑥}))
1110imaeq2d 5427 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → (𝐹 “ {(𝐹𝑥)}) = (𝐹 “ (𝐹 “ {𝑥})))
12 simpl2 1063 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐹:𝑋1-1𝑌)
13 fdm 6010 . . . . . . . . . . 11 (𝐹: 𝐽 𝐾 → dom 𝐹 = 𝐽)
146, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → dom 𝐹 = 𝐽)
15 f1dm 6064 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋1-1𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
16153ad2ant2 1081 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → dom 𝐹 = 𝑋)
1714, 16eqtr3d 2657 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 = 𝑋)
1817eleq2d 2684 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 𝐽𝑥𝑋))
1918biimpa 501 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝑥𝑋)
2019snssd 4311 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑥} ⊆ 𝑋)
21 f1imacnv 6112 . . . . . 6 ((𝐹:𝑋1-1𝑌 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑋) → (𝐹 “ (𝐹 “ {𝑥})) = {𝑥})
2212, 20, 21syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → (𝐹 “ (𝐹 “ {𝑥})) = {𝑥})
2311, 22eqtrd 2655 . . . 4 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → (𝐹 “ {(𝐹𝑥)}) = {𝑥})
24 simpl3 1064 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
25 simpl1 1062 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐾 ∈ Fre)
266ffvelrnda 6317 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
274t1sncld 21043 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Fre ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐾) → {(𝐹𝑥)} ∈ (Clsd‘𝐾))
2825, 26, 27syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → {(𝐹𝑥)} ∈ (Clsd‘𝐾))
29 cnclima 20985 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ {(𝐹𝑥)} ∈ (Clsd‘𝐾)) → (𝐹 “ {(𝐹𝑥)}) ∈ (Clsd‘𝐽))
3024, 28, 29syl2anc 692 . . . 4 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → (𝐹 “ {(𝐹𝑥)}) ∈ (Clsd‘𝐽))
3123, 30eqeltrrd 2699 . . 3 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
3231ralrimiva 2960 . 2 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑥 𝐽{𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
333ist1 21038 . 2 (𝐽 ∈ Fre ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽{𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽)))
342, 32, 33sylanbrc 697 1 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Fre)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wss 3556  {csn 4150   cuni 4404  ccnv 5075  dom cdm 5076  cima 5079   Fn wfn 5844  wf 5845  1-1wf1 5846  cfv 5849  (class class class)co 6607  Topctop 20620  Clsdccld 20733   Cn ccn 20941  Frect1 21024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-map 7807  df-top 20621  df-topon 20638  df-cld 20736  df-cn 20944  df-t1 21031
This theorem is referenced by:  restt1  21084  sst1  21091  t1hmph  21507
  Copyright terms: Public domain W3C validator