Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cntmeas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntmeas 29412
Description: The Counting measure is a measure on any sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
cntmeas (𝑆 ran sigAlgebra → (# ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆))

Proof of Theorem cntmeas
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashf2 29269 . . . 4 #:V⟶(0[,]+∞)
2 ssv 3492 . . . 4 𝑆 ⊆ V
3 fssres 5867 . . . 4 ((#:V⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑆 ⊆ V) → (# ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
41, 2, 3mp2an 703 . . 3 (# ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞)
54a1i 11 . 2 (𝑆 ran sigAlgebra → (# ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
6 0elsiga 29300 . . . 4 (𝑆 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
7 fvres 6001 . . . 4 (∅ ∈ 𝑆 → ((# ↾ 𝑆)‘∅) = (#‘∅))
86, 7syl 17 . . 3 (𝑆 ran sigAlgebra → ((# ↾ 𝑆)‘∅) = (#‘∅))
9 hash0 12884 . . 3 (#‘∅) = 0
108, 9syl6eq 2564 . 2 (𝑆 ran sigAlgebra → ((# ↾ 𝑆)‘∅) = 0)
11 vex 3080 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
12 hasheuni 29270 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ V ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (#‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(#‘𝑦))
1311, 12mpan 701 . . . . . 6 (Disj 𝑦𝑥 𝑦 → (#‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(#‘𝑦))
1413ad2antll 760 . . . . 5 (((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (#‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(#‘𝑦))
15 isrnsigau 29313 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ran sigAlgebra → (𝑆 ⊆ 𝒫 𝑆 ∧ ( 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 ( 𝑆𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆))))
1615simprd 477 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ran sigAlgebra → ( 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆 ( 𝑆𝑥) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆)))
1716simp3d 1067 . . . . . . . . 9 (𝑆 ran sigAlgebra → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆))
18 fvres 6001 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑥𝑆 → ((# ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = (#‘ 𝑥))
1918imim2i 16 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆) → (𝑥 ≼ ω → ((# ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = (#‘ 𝑥)))
2019ralimi 2840 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → 𝑥𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ((# ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = (#‘ 𝑥)))
2117, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝑆 ran sigAlgebra → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆(𝑥 ≼ ω → ((# ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = (#‘ 𝑥)))
2221r19.21bi 2820 . . . . . . 7 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) → (𝑥 ≼ ω → ((# ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = (#‘ 𝑥)))
2322imp 443 . . . . . 6 (((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((# ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = (#‘ 𝑥))
2423adantrr 748 . . . . 5 (((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → ((# ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = (#‘ 𝑥))
25 elpwi 4020 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑥𝑆)
2625sseld 3471 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → (𝑦𝑥𝑦𝑆))
27 fvres 6001 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑆 → ((# ↾ 𝑆)‘𝑦) = (#‘𝑦))
2826, 27syl6 34 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → (𝑦𝑥 → ((# ↾ 𝑆)‘𝑦) = (#‘𝑦)))
2928imp 443 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥) → ((# ↾ 𝑆)‘𝑦) = (#‘𝑦))
3029esumeq2dv 29223 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → Σ*𝑦𝑥((# ↾ 𝑆)‘𝑦) = Σ*𝑦𝑥(#‘𝑦))
3130ad2antlr 758 . . . . 5 (((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → Σ*𝑦𝑥((# ↾ 𝑆)‘𝑦) = Σ*𝑦𝑥(#‘𝑦))
3214, 24, 313eqtr4d 2558 . . . 4 (((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → ((# ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥((# ↾ 𝑆)‘𝑦))
3332ex 448 . . 3 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → ((# ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥((# ↾ 𝑆)‘𝑦)))
3433ralrimiva 2853 . 2 (𝑆 ran sigAlgebra → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → ((# ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥((# ↾ 𝑆)‘𝑦)))
35 ismeas 29385 . 2 (𝑆 ran sigAlgebra → ((# ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((# ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((# ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑆((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → ((# ↾ 𝑆)‘ 𝑥) = Σ*𝑦𝑥((# ↾ 𝑆)‘𝑦)))))
365, 10, 34, 35mpbir3and 1237 1 (𝑆 ran sigAlgebra → (# ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1938  wral 2800  Vcvv 3077  cdif 3441  wss 3444  c0 3777  𝒫 cpw 4011   cuni 4270  Disj wdisj 4451   class class class wbr 4481  ran crn 4933  cres 4934  wf 5685  cfv 5689  (class class class)co 6426  ωcom 6833  cdom 7715  0cc0 9691  +∞cpnf 9826  [,]cicc 11918  #chash 12847  Σ*cesum 29212  sigAlgebracsiga 29293  measurescmeas 29381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-inf2 8297  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769  ax-addf 9770  ax-mulf 9771
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-disj 4452  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-of 6671  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-supp 7058  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-2o 7324  df-oadd 7327  df-er 7505  df-map 7622  df-pm 7623  df-ixp 7671  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-fsupp 8035  df-fi 8076  df-sup 8107  df-inf 8108  df-oi 8174  df-card 8524  df-cda 8749  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-4 10836  df-5 10837  df-6 10838  df-7 10839  df-8 10840  df-9 10841  df-n0 11048  df-z 11119  df-dec 11234  df-uz 11428  df-q 11531  df-rp 11575  df-xneg 11688  df-xadd 11689  df-xmul 11690  df-ioo 11919  df-ioc 11920  df-ico 11921  df-icc 11922  df-fz 12066  df-fzo 12203  df-fl 12323  df-mod 12399  df-seq 12532  df-exp 12591  df-fac 12791  df-bc 12820  df-hash 12848  df-shft 13514  df-cj 13546  df-re 13547  df-im 13548  df-sqrt 13682  df-abs 13683  df-limsup 13910  df-clim 13933  df-rlim 13934  df-sum 14134  df-ef 14506  df-sin 14508  df-cos 14509  df-pi 14511  df-struct 15581  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-base 15584  df-sets 15585  df-ress 15586  df-plusg 15665  df-mulr 15666  df-starv 15667  df-sca 15668  df-vsca 15669  df-ip 15670  df-tset 15671  df-ple 15672  df-ds 15675  df-unif 15676  df-hom 15677  df-cco 15678  df-rest 15790  df-topn 15791  df-0g 15809  df-gsum 15810  df-topgen 15811  df-pt 15812  df-prds 15815  df-ordt 15868  df-xrs 15869  df-qtop 15875  df-imas 15876  df-xps 15879  df-mre 15961  df-mrc 15962  df-acs 15964  df-ps 16915  df-tsr 16916  df-plusf 16956  df-mgm 16957  df-sgrp 16999  df-mnd 17010  df-mhm 17050  df-submnd 17051  df-grp 17140  df-minusg 17141  df-sbg 17142  df-mulg 17256  df-subg 17306  df-cntz 17465  df-cmn 17926  df-abl 17927  df-mgp 18220  df-ur 18232  df-ring 18279  df-cring 18280  df-subrg 18508  df-abv 18547  df-lmod 18595  df-scaf 18596  df-sra 18897  df-rgmod 18898  df-psmet 19463  df-xmet 19464  df-met 19465  df-bl 19466  df-mopn 19467  df-fbas 19468  df-fg 19469  df-cnfld 19472  df-top 20424  df-bases 20425  df-topon 20426  df-topsp 20427  df-cld 20536  df-ntr 20537  df-cls 20538  df-nei 20615  df-lp 20653  df-perf 20654  df-cn 20744  df-cnp 20745  df-haus 20832  df-tx 21078  df-hmeo 21271  df-fil 21363  df-fm 21455  df-flim 21456  df-flf 21457  df-tmd 21589  df-tgp 21590  df-tsms 21643  df-trg 21676  df-xms 21837  df-ms 21838  df-tms 21839  df-nm 22099  df-ngp 22100  df-nrg 22102  df-nlm 22103  df-ii 22411  df-cncf 22412  df-limc 23311  df-dv 23312  df-log 23994  df-esum 29213  df-siga 29294  df-meas 29382
This theorem is referenced by:  pwcntmeas  29413
  Copyright terms: Public domain W3C validator