MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntop1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntop1 21025
Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cntop1 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2620 . . . 4 𝐽 = 𝐽
2 eqid 2620 . . . 4 𝐾 = 𝐾
31, 2iscn2 21023 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹: 𝐽 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
43simplbi 476 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
54simpld 475 1 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1988  wral 2909   cuni 4427  ccnv 5103  cima 5107  wf 5872  (class class class)co 6635  Topctop 20679   Cn ccn 21009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-map 7844  df-top 20680  df-topon 20697  df-cn 21012
This theorem is referenced by:  cnco  21051  cnclima  21053  cnntri  21056  cnclsi  21057  cnss2  21062  cncnpi  21063  cncnp2  21066  cnrest  21070  cnrest2  21071  cnrest2r  21072  lmcn  21090  cnt0  21131  cnt1  21135  cnhaus  21139  kgen2cn  21343  txcnmpt  21408  uptx  21409  txcn  21410  xkoco1cn  21441  xkoco2cn  21442  xkococnlem  21443  cnmpt21f  21456  qtopss  21499  qtopomap  21502  qtopcmap  21503  hmeofval  21542  hmeof1o  21548  hmeores  21555  hmphen  21569  txhmeo  21587  htpyco2  22759  hauseqcn  29915  cnmbfm  30299  hausgraph  37609  rfcnpre1  38998  fcnre  39004
  Copyright terms: Public domain W3C validator