MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntop2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntop2 21777
Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cntop2 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . 4 𝐽 = 𝐽
2 eqid 2818 . . . 4 𝐾 = 𝐾
31, 2iscn2 21774 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹: 𝐽 𝐾 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
43simplbi 498 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
54simprd 496 1 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  wral 3135   cuni 4830  ccnv 5547  cima 5551  wf 6344  (class class class)co 7145  Topctop 21429   Cn ccn 21760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8397  df-top 21430  df-topon 21447  df-cn 21763
This theorem is referenced by:  cnco  21802  cncls2i  21806  cnntri  21807  cnss1  21812  cncnpi  21814  cncnp2  21817  cnrest  21821  cnrest2r  21823  paste  21830  cncmp  21928  rncmp  21932  cnconn  21958  connima  21961  conncn  21962  2ndcomap  21994  kgen2cn  22095  txcnmpt  22160  uptx  22161  lmcn2  22185  xkoco1cn  22193  xkoco2cn  22194  xkococnlem  22195  cnmpt11  22199  cnmpt11f  22200  cnmpt1t  22201  cnmpt12  22203  cnmpt21  22207  cnmpt2t  22209  cnmpt22  22210  cnmpt22f  22211  cnmptcom  22214  cnmpt2k  22224  qtopeu  22252  hmeofval  22294  hmeof1o  22300  hmeontr  22305  hmeores  22307  hmeoqtop  22311  hmphen  22321  reghmph  22329  nrmhmph  22330  txhmeo  22339  xpstopnlem1  22345  flfcntr  22579  cnmpopc  23459  ishtpy  23503  htpyco1  23509  htpyco2  23510  isphtpy  23512  phtpyco2  23521  isphtpc  23525  pcofval  23541  pcopt  23553  pcopt2  23554  pcorevlem  23557  pi1cof  23590  pi1coghm  23592  cnmbfm  31420  cnpconn  32374
  Copyright terms: Public domain W3C validator