Theorem cntrnsg 18474

Description: The center of a group is a normal subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntrnsg.z	⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntrnsg	⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))

Proof of Theorem cntrnsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntrnsg.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝑀)
2		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
4	2, 3	cntrval 18451	. . . 4 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) = (Cntr‘𝑀)
5	1, 4	eqtr4i 2849	. . 3 ⊢ 𝑍 = ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀))
6		ssid 3991	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)
7	2, 3	cntzsubg 18469	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ (Base‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)) → ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) ∈ (SubGrp‘𝑀))
8	6, 7	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) ∈ (SubGrp‘𝑀))
9	5, 8	eqeltrid 2919	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
10		ssid 3991	. 2 ⊢ 𝑍 ⊆ 𝑍
11	1	cntrsubgnsg 18473	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑍) → 𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))
12	9, 10, 11	sylancl 588	1 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3938  ‘cfv 6357  Basecbs 16485  Grpcgrp 18105  SubGrpcsubg 18275  NrmSGrpcnsg 18276  Cntzccntz 18447  Cntrccntr 18448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-nsg 18279  df-cntz 18449  df-cntr 18450

This theorem is referenced by:  simpcntrab  43134