Theorem cntrnsg 17820

Description: The center of a group is a normal subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntrnsg.z	⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntrnsg	⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))

Proof of Theorem cntrnsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntrnsg.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntr‘𝑀)
2		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝑀) = (Cntz‘𝑀)
4	2, 3	cntrval 17798	. . . 4 ⊢ ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) = (Cntr‘𝑀)
5	1, 4	eqtr4i 2676	. . 3 ⊢ 𝑍 = ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀))
6		ssid 3657	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)
7	2, 3	cntzsubg 17815	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Grp ∧ (Base‘𝑀) ⊆ (Base‘𝑀)) → ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) ∈ (SubGrp‘𝑀))
8	6, 7	mpan2 707	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → ((Cntz‘𝑀)‘(Base‘𝑀)) ∈ (SubGrp‘𝑀))
9	5, 8	syl5eqel 2734	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀))
10		ssid 3657	. 2 ⊢ 𝑍 ⊆ 𝑍
11	1	cntrsubgnsg 17819	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ (SubGrp‘𝑀) ∧ 𝑍 ⊆ 𝑍) → 𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))
12	9, 10, 11	sylancl 695	1 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → 𝑍 ∈ (NrmSGrp‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607  ‘cfv 5926  Basecbs 15904  Grpcgrp 17469  SubGrpcsubg 17635  NrmSGrpcnsg 17636  Cntzccntz 17794  Cntrccntr 17795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-nsg 17639  df-cntz 17796  df-cntr 17797

This theorem is referenced by: (None)