MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzidss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzidss 17691
Description: If the elements of 𝑆 commute, the elements of a subset 𝑇 also commute. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cntzmhm.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cntzidss ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇 ⊆ (𝑍𝑇))

Proof of Theorem cntzidss
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . 2 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇𝑆)
2 simpl 473 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ 𝑇𝑆) → 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆))
3 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4 cntzmhm.z . . . . . 6 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
53, 4cntzssv 17682 . . . . 5 (𝑍𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
62, 5syl6ss 3595 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ 𝑇𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
73, 4cntz2ss 17686 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑇𝑆) → (𝑍𝑆) ⊆ (𝑍𝑇))
86, 7sylancom 700 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ 𝑇𝑆) → (𝑍𝑆) ⊆ (𝑍𝑇))
92, 8sstrd 3593 . 2 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ 𝑇𝑆) → 𝑆 ⊆ (𝑍𝑇))
101, 9sstrd 3593 1 ((𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇 ⊆ (𝑍𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wss 3555  cfv 5847  Basecbs 15781  Cntzccntz 17669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-cntz 17671
This theorem is referenced by:  gsumzres  18231  gsumzf1o  18234  gsumzaddlem  18242  gsumzadd  18243  gsumzsplit  18248  gsumconst  18255  gsumpt  18282  dprdfadd  18340
  Copyright terms: Public domain W3C validator