MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzsubr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzsubr 19012
Description: Centralizers in a ring are subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsubr.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
cntzsubr.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
cntzsubr.z 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
cntzsubr ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem cntzsubr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzsubr.m . . . . . 6 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2 cntzsubr.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
31, 2mgpbas 18693 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
4 cntzsubr.z . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
53, 4cntzssv 17959 . . . 4 (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵
65a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵)
7 simpll 807 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
8 ssel2 3737 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐵𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
98adantll 752 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
10 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
11 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
122, 10, 11ringlz 18785 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧𝐵) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅))
137, 9, 12syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅))
142, 10, 11ringrz 18786 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
157, 9, 14syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
1613, 15eqtr4d 2795 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑧𝑆) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)))
1716ralrimiva 3102 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → ∀𝑧𝑆 ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅)))
18 simpr 479 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆𝐵)
192, 11ring0cl 18767 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
2019adantr 472 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
211, 10mgpplusg 18691 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (+g𝑀)
223, 21, 4cntzel 17954 . . . . . 6 ((𝑆𝐵 ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g𝑅) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅))))
2318, 20, 22syl2anc 696 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → ((0g𝑅) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(0g𝑅))))
2417, 23mpbird 247 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (0g𝑅) ∈ (𝑍𝑆))
25 ne0i 4062 . . . 4 ((0g𝑅) ∈ (𝑍𝑆) → (𝑍𝑆) ≠ ∅)
2624, 25syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ≠ ∅)
27 simpl2 1230 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
28 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝑆)
2921, 4cntzi 17960 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑥))
3027, 28, 29syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑥))
31 simpl3 1232 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑦 ∈ (𝑍𝑆))
3221, 4cntzi 17960 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑦))
3331, 28, 32syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑦))
3430, 33oveq12d 6829 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
35 simpl1l 1279 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
365, 27sseldi 3740 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥𝐵)
375, 31sseldi 3740 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑦𝐵)
38 simp1r 1241 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑆𝐵)
3938sselda 3742 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
40 eqid 2758 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑅) = (+g𝑅)
412, 40, 10ringdir 18765 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
4235, 36, 37, 39, 41syl13anc 1479 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r𝑅)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
432, 40, 10ringdi 18764 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑧𝐵𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
4435, 39, 36, 37, 43syl13anc 1479 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
4534, 42, 443eqtr4d 2802 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)))
4645ralrimiva 3102 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → ∀𝑧𝑆 ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)))
47 simp1l 1240 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
48 simp2 1132 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
495, 48sseldi 3740 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥𝐵)
50 simp3 1133 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑦 ∈ (𝑍𝑆))
515, 50sseldi 3740 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑦𝐵)
522, 40ringacl 18776 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
5347, 49, 51, 52syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
543, 21, 4cntzel 17954 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐵 ∧ (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦))))
5538, 53, 54syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦))))
5646, 55mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
57563expa 1112 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑍𝑆)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
5857ralrimiva 3102 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆))
5929adantll 752 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑥))
6059fveq2d 6354 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → ((invg𝑅)‘(𝑥(.r𝑅)𝑧)) = ((invg𝑅)‘(𝑧(.r𝑅)𝑥)))
61 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (invg𝑅) = (invg𝑅)
62 simplll 815 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
63 simplr 809 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
645, 63sseldi 3740 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥𝐵)
65 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑆𝐵)
6665sselda 3742 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
672, 10, 61, 62, 64, 66ringmneg1 18794 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = ((invg𝑅)‘(𝑥(.r𝑅)𝑧)))
682, 10, 61, 62, 66, 64ringmneg2 18795 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥)) = ((invg𝑅)‘(𝑧(.r𝑅)𝑥)))
6960, 67, 683eqtr4d 2802 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ∧ 𝑧𝑆) → (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥)))
7069ralrimiva 3102 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ∀𝑧𝑆 (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥)))
71 ringgrp 18750 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7271ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑅 ∈ Grp)
73 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
745, 73sseldi 3740 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → 𝑥𝐵)
752, 61grpinvcl 17666 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
7672, 74, 75syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
773, 21, 4cntzel 17954 . . . . . . 7 ((𝑆𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥))))
7865, 76, 77syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → (((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑧𝑆 (((invg𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)((invg𝑅)‘𝑥))))
7970, 78mpbird 247 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆))
8058, 79jca 555 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) → (∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))
8180ralrimiva 3102 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))
8271adantr 472 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
832, 40, 61issubg2 17808 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp → ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))))
8482, 83syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑍𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑍𝑆)(∀𝑦 ∈ (𝑍𝑆)(𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (𝑍𝑆) ∧ ((invg𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))))
856, 26, 81, 84mpbir3and 1428 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅))
861ringmgp 18751 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
873, 4cntzsubm 17966 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))
8886, 87sylan 489 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))
891issubrg3 19008 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑍𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))))
9089adantr 472 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑍𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑍𝑆) ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝑀))))
9185, 88, 90mpbir2and 995 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1630  wcel 2137  wne 2930  wral 3048  wss 3713  c0 4056  cfv 6047  (class class class)co 6811  Basecbs 16057  +gcplusg 16141  .rcmulr 16142  0gc0g 16300  Mndcmnd 17493  SubMndcsubmnd 17533  Grpcgrp 17621  invgcminusg 17622  SubGrpcsubg 17787  Cntzccntz 17946  mulGrpcmgp 18687  Ringcrg 18745  SubRingcsubrg 18976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-0g 16302  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-subg 17790  df-cntz 17948  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-subrg 18978
This theorem is referenced by:  cntzsdrg  38272
  Copyright terms: Public domain W3C validator