Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnvbraval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvbraval 28830
 Description: Value of the converse of the bra function. Based on the Riesz Lemma riesz4 28784, this very important theorem not only justifies the Dirac bra-ket notation, but allows us to extract a unique vector from any continuous linear functional from which the functional can be recovered; i.e. a single vector can "store" all of the information contained in any entire continuous linear functional (mapping from ℋ to ℂ). (Contributed by NM, 26-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnvbraval (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (bra‘𝑇) = (𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem cnvbraval
StepHypRef Expression
1 bra11 28828 . . . . . . . . . 10 bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn)
2 f1ocnvfv 6491 . . . . . . . . . 10 ((bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦) = 𝑇 → (bra‘𝑇) = 𝑦))
31, 2mpan 705 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → ((bra‘𝑦) = 𝑇 → (bra‘𝑇) = 𝑦))
43imp 445 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (bra‘𝑇) = 𝑦)
54oveq2d 6623 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (𝑥 ·ih (bra‘𝑇)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
65adantll 749 . . . . . 6 ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (𝑥 ·ih (bra‘𝑇)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
7 braval 28664 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
87ancoms 469 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
98adantll 749 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
109adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
11 fveq1 6149 . . . . . . 7 ((bra‘𝑦) = 𝑇 → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑇𝑥))
1211adantl 482 . . . . . 6 ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑇𝑥))
136, 10, 123eqtr2rd 2662 . . . . 5 ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih (bra‘𝑇)))
14 rnbra 28827 . . . . . . . 8 ran bra = (LinFn ∩ ContFn)
1514eleq2i 2690 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ ran bra ↔ 𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn))
16 f1of 6096 . . . . . . . . . 10 (bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn) → bra: ℋ⟶(LinFn ∩ ContFn))
171, 16ax-mp 5 . . . . . . . . 9 bra: ℋ⟶(LinFn ∩ ContFn)
18 ffn 6004 . . . . . . . . 9 (bra: ℋ⟶(LinFn ∩ ContFn) → bra Fn ℋ)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8 bra Fn ℋ
20 fvelrnb 6202 . . . . . . . 8 (bra Fn ℋ → (𝑇 ∈ ran bra ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ ran bra ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇)
2215, 21sylbb1 227 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇)
2322adantr 481 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇)
2413, 23r19.29a 3071 . . . 4 ((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih (bra‘𝑇)))
2524ralrimiva 2960 . . 3 (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih (bra‘𝑇)))
26 f1ocnvdm 6497 . . . . 5 ((bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn)) → (bra‘𝑇) ∈ ℋ)
271, 26mpan 705 . . . 4 (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (bra‘𝑇) ∈ ℋ)
28 riesz4 28784 . . . 4 (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
29 oveq2 6615 . . . . . . 7 (𝑦 = (bra‘𝑇) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (bra‘𝑇)))
3029eqeq2d 2631 . . . . . 6 (𝑦 = (bra‘𝑇) → ((𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih (bra‘𝑇))))
3130ralbidv 2980 . . . . 5 (𝑦 = (bra‘𝑇) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih (bra‘𝑇))))
3231riota2 6590 . . . 4 (((bra‘𝑇) ∈ ℋ ∧ ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih (bra‘𝑇)) ↔ (𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) = (bra‘𝑇)))
3327, 28, 32syl2anc 692 . . 3 (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih (bra‘𝑇)) ↔ (𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) = (bra‘𝑇)))
3425, 33mpbid 222 . 2 (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) = (bra‘𝑇))
3534eqcomd 2627 1 (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (bra‘𝑇) = (𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  ∃!wreu 2909   ∩ cin 3555  ◡ccnv 5075  ran crn 5077   Fn wfn 5844  ⟶wf 5845  –1-1-onto→wf1o 5848  ‘cfv 5849  ℩crio 6567  (class class class)co 6607   ℋchil 27637   ·ih csp 27640  ContFnccnfn 27671  LinFnclf 27672  bracbr 27674 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cc 9204  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-addf 9962  ax-mulf 9963  ax-hilex 27717  ax-hfvadd 27718  ax-hvcom 27719  ax-hvass 27720  ax-hv0cl 27721  ax-hvaddid 27722  ax-hfvmul 27723  ax-hvmulid 27724  ax-hvmulass 27725  ax-hvdistr1 27726  ax-hvdistr2 27727  ax-hvmul0 27728  ax-hfi 27797  ax-his1 27800  ax-his2 27801  ax-his3 27802  ax-his4 27803  ax-hcompl 27920 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-omul 7513  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-fi 8264  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-acn 8715  df-cda 8937  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-xneg 11893  df-xadd 11894  df-xmul 11895  df-ioo 12124  df-ico 12126  df-icc 12127  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-fl 12536  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-clim 14156  df-rlim 14157  df-sum 14354  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-starv 15880  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-unif 15889  df-hom 15890  df-cco 15891  df-rest 16007  df-topn 16008  df-0g 16026  df-gsum 16027  df-topgen 16028  df-pt 16029  df-prds 16032  df-xrs 16086  df-qtop 16091  df-imas 16092  df-xps 16094  df-mre 16170  df-mrc 16171  df-acs 16173  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-submnd 17260  df-mulg 17465  df-cntz 17674  df-cmn 18119  df-psmet 19660  df-xmet 19661  df-met 19662  df-bl 19663  df-mopn 19664  df-fbas 19665  df-fg 19666  df-cnfld 19669  df-top 20621  df-topon 20638  df-topsp 20651  df-bases 20664  df-cld 20736  df-ntr 20737  df-cls 20738  df-nei 20815  df-cn 20944  df-cnp 20945  df-lm 20946  df-t1 21031  df-haus 21032  df-tx 21278  df-hmeo 21471  df-fil 21563  df-fm 21655  df-flim 21656  df-flf 21657  df-xms 22038  df-ms 22039  df-tms 22040  df-cfil 22966  df-cau 22967  df-cmet 22968  df-grpo 27208  df-gid 27209  df-ginv 27210  df-gdiv 27211  df-ablo 27260  df-vc 27275  df-nv 27308  df-va 27311  df-ba 27312  df-sm 27313  df-0v 27314  df-vs 27315  df-nmcv 27316  df-ims 27317  df-dip 27417  df-ssp 27438  df-ph 27529  df-cbn 27580  df-hnorm 27686  df-hba 27687  df-hvsub 27689  df-hlim 27690  df-hcau 27691  df-sh 27925  df-ch 27939  df-oc 27970  df-ch0 27971  df-nmfn 28565  df-nlfn 28566  df-cnfn 28567  df-lnfn 28568  df-bra 28570 This theorem is referenced by:  bracnlnval  28834
 Copyright terms: Public domain W3C validator