MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvfi 8193
Description: If a set is finite, its converse is as well. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnvfi (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem cnvfi
StepHypRef Expression
1 cnvcnvss 5551 . . 3 𝐴𝐴
2 ssfi 8125 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
31, 2mpan2 706 . 2 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
4 relcnv 5466 . . 3 Rel 𝐴
5 cnvexg 7062 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ V)
6 cnven 7977 . . 3 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ V) → 𝐴𝐴)
74, 5, 6sylancr 694 . 2 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴𝐴)
8 enfii 8122 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
93, 7, 8syl2anc 692 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1992  Vcvv 3191  wss 3560   class class class wbr 4618  ccnv 5078  Rel wrel 5084  cen 7897  Fincfn 7900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-er 7688  df-en 7901  df-fin 7904
This theorem is referenced by:  rnfi  8194  fsumcnv  14427  fprodcnv  14633  gsumcom3  20119  gsummpt2co  29557
  Copyright terms: Public domain W3C validator