MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvfi 8794
Description: If a set is finite, its converse is as well. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnvfi (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem cnvfi
StepHypRef Expression
1 cnvcnvss 6044 . . 3 𝐴𝐴
2 ssfi 8726 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
31, 2mpan2 687 . 2 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
4 relcnv 5960 . . 3 Rel 𝐴
5 cnvexg 7618 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ V)
6 cnven 8573 . . 3 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ V) → 𝐴𝐴)
74, 5, 6sylancr 587 . 2 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴𝐴)
8 enfii 8723 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
93, 7, 8syl2anc 584 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  Vcvv 3492  wss 3933   class class class wbr 5057  ccnv 5547  Rel wrel 5553  cen 8494  Fincfn 8497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-en 8498  df-fin 8501
This theorem is referenced by:  rnfi  8795  fsumcnv  15116  fprodcnv  15325  gsumcom3  19027  gsummpt2co  30613
  Copyright terms: Public domain W3C validator