MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvpo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvpo 5635
Description: The converse of a partial order relation is a partial order relation. (Contributed by NM, 15-Jun-2005.)
Assertion
Ref Expression
cnvpo (𝑅 Po 𝐴𝑅 Po 𝐴)

Proof of Theorem cnvpo
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 3062 . . . . . . 7 (∀𝑧𝐴𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ (∀𝑧𝐴 ¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)))
2 vex 3194 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ V
32, 2brcnv 5270 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝑅𝑧𝑧𝑅𝑧)
4 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥𝑧 = 𝑥)
54, 4breq12d 4631 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑅𝑧𝑥𝑅𝑥))
63, 5syl5bb 272 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑅𝑧𝑥𝑅𝑥))
76notbid 308 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (¬ 𝑧𝑅𝑧 ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑥))
87cbvralv 3164 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝐴 ¬ 𝑧𝑅𝑧 ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥)
9 vex 3194 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
102, 9brcnv 5270 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧)
11 vex 3194 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
129, 11brcnv 5270 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦)
1310, 12anbi12ci 733 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧))
142, 11brcnv 5270 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑅𝑥𝑥𝑅𝑧)
1513, 14imbi12i 340 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥) ↔ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
1615ralbii 2979 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥) ↔ ∀𝑧𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
178, 16anbi12i 732 . . . . . . 7 ((∀𝑧𝐴 ¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
181, 17bitr2i 265 . . . . . 6 ((∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑧𝐴𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)))
1918ralbii 2979 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑧𝐴𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)))
20 r19.26 3062 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐴 (∀𝑧𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑥𝐴𝑧𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
21 ralidm 4052 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐴𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥 ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥)
22 rzal 4050 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥)
23 rzal 4050 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → ∀𝑥𝐴𝑧𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥)
2422, 232thd 255 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = ∅ → (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥 ↔ ∀𝑥𝐴𝑧𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥))
25 r19.3rzv 4041 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ≠ ∅ → (¬ 𝑥𝑅𝑥 ↔ ∀𝑧𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥))
2625ralbidv 2985 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥 ↔ ∀𝑥𝐴𝑧𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥))
2724, 26pm2.61ine 2879 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥 ↔ ∀𝑥𝐴𝑧𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥)
2821, 27bitr2i 265 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐴𝑧𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥 ↔ ∀𝑥𝐴𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥)
2928anbi1i 730 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝐴𝑧𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑥𝐴𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
3020, 29bitri 264 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (∀𝑧𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑥𝐴𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
31 r19.26 3062 . . . . . . 7 (∀𝑧𝐴𝑥𝑅𝑥 ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑧𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
3231ralbii 2979 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴𝑧𝐴𝑥𝑅𝑥 ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑧𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
33 r19.26 3062 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑥𝐴𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
3430, 32, 333bitr4i 292 . . . . 5 (∀𝑥𝐴𝑧𝐴𝑥𝑅𝑥 ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑥 ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
35 ralcom 3095 . . . . 5 (∀𝑧𝐴𝑥𝐴𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑧𝐴𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)))
3619, 34, 353bitr4i 292 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑧𝐴𝑥𝑅𝑥 ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑧𝐴𝑥𝐴𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)))
3736ralbii 2979 . . 3 (∀𝑦𝐴𝑥𝐴𝑧𝐴𝑥𝑅𝑥 ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑦𝐴𝑧𝐴𝑥𝐴𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)))
38 ralcom 3095 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴𝑥𝑅𝑥 ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑦𝐴𝑥𝐴𝑧𝐴𝑥𝑅𝑥 ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
39 ralcom 3095 . . 3 (∀𝑧𝐴𝑦𝐴𝑥𝐴𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑦𝐴𝑧𝐴𝑥𝐴𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)))
4037, 38, 393bitr4i 292 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴𝑥𝑅𝑥 ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑧𝐴𝑦𝐴𝑥𝐴𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)))
41 df-po 5000 . 2 (𝑅 Po 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴𝑥𝑅𝑥 ∧ ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
42 df-po 5000 . 2 (𝑅 Po 𝐴 ↔ ∀𝑧𝐴𝑦𝐴𝑥𝐴𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)))
4340, 41, 423bitr4i 292 1 (𝑅 Po 𝐴𝑅 Po 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wne 2796  wral 2912  c0 3896   class class class wbr 4618   Po wpo 4998  ccnv 5078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3193  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-br 4619  df-opab 4679  df-po 5000  df-cnv 5087
This theorem is referenced by:  cnvso  5636  fimax2g  8151  fin23lem40  9118  isfin1-3  9153
  Copyright terms: Public domain W3C validator