Theorem cnvunop 29694

Description: The inverse (converse) of a unitary operator in Hilbert space is unitary. Theorem in [AkhiezerGlazman] p. 72. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnvunop	⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇 ∈ UniOp)

Proof of Theorem cnvunop

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unopf1o 29692	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
2		f1ocnv 6626	. . . 4 ⊢ (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → ◡𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
3		f1ofo 6621	. . . 4 ⊢ (◡𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → ◡𝑇: ℋ–onto→ ℋ)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → ◡𝑇: ℋ–onto→ ℋ)
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇: ℋ–onto→ ℋ)
6		simpl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → 𝑇 ∈ UniOp)
7		fof 6589	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝑇: ℋ–onto→ ℋ → ◡𝑇: ℋ⟶ ℋ)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇: ℋ⟶ ℋ)
9	8	ffvelrnda 6850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (◡𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
10	9	adantrr 715	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (◡𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
11	8	ffvelrnda 6850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (◡𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
12	11	adantrl 714	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (◡𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
13		unop 29691	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (◡𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (◡𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦))) = ((◡𝑇‘𝑥) ·ih (◡𝑇‘𝑦)))
14	6, 10, 12, 13	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦))) = ((◡𝑇‘𝑥) ·ih (◡𝑇‘𝑦)))
15		f1ocnvfv2 7033	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) = 𝑥)
16	15	adantrr 715	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) = 𝑥)
17		f1ocnvfv2 7033	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦)) = 𝑦)
18	17	adantrl 714	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦)) = 𝑦)
19	16, 18	oveq12d 7173	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦))) = (𝑥 ·ih 𝑦))
20	1, 19	sylan 582	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(◡𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘(◡𝑇‘𝑦))) = (𝑥 ·ih 𝑦))
21	14, 20	eqtr3d 2858	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((◡𝑇‘𝑥) ·ih (◡𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
22	21	ralrimivva 3191	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((◡𝑇‘𝑥) ·ih (◡𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
23		elunop 29648	. 2 ⊢ (◡𝑇 ∈ UniOp ↔ (◡𝑇: ℋ–onto→ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((◡𝑇‘𝑥) ·ih (◡𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
24	5, 22, 23	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp → ◡𝑇 ∈ UniOp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ^◡ccnv 5553  ⟶wf 6350  –onto→wfo 6352  –1-1-onto→wf1o 6353  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   ℋchba 28695   ·_ih csp 28698  UniOpcuo 28725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-hilex 28775  ax-hfvadd 28776  ax-hvcom 28777  ax-hvass 28778  ax-hv0cl 28779  ax-hvaddid 28780  ax-hfvmul 28781  ax-hvmulid 28782  ax-hvdistr2 28785  ax-hvmul0 28786  ax-hfi 28855  ax-his1 28858  ax-his2 28859  ax-his3 28860  ax-his4 28861

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-2 11699  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-hvsub 28747  df-unop 29619

This theorem is referenced by:  unoplin  29696  unopadj2  29714