MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnxmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnxmet 22486
Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnxmet (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet
StepHypRef Expression
1 cnmet 22485 . 2 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2 metxmet 22049 . 2 ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
31, 2ax-mp 5 1 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987  ccom 5078  cfv 5847  cc 9878  cmin 10210  abscabs 13908  ∞Metcxmt 19650  Metcme 19651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-xmet 19658  df-met 19659
This theorem is referenced by:  cnbl0  22487  cnfldms  22489  cnfldtopn  22495  cnfldhaus  22498  blcvx  22509  tgioo2  22514  recld2  22525  zdis  22527  reperflem  22529  addcnlem  22575  divcn  22579  iitopon  22590  dfii3  22594  cncfmet  22619  cncfcn  22620  cnheibor  22662  cnllycmp  22663  ipcn  22953  lmclim  23009  cnflduss  23060  reust  23077  ellimc3  23549  dvlipcn  23661  dvlip2  23662  dv11cn  23668  lhop1lem  23680  ftc1lem6  23708  ulmdvlem1  24058  ulmdvlem3  24060  psercn  24084  pserdvlem2  24086  pserdv  24087  abelthlem2  24090  abelthlem3  24091  abelthlem5  24093  abelthlem7  24096  abelth  24099  dvlog2lem  24298  dvlog2  24299  efopnlem2  24303  efopn  24304  logtayl  24306  logtayl2  24308  cxpcn3  24389  rlimcnp  24592  xrlimcnp  24595  efrlim  24596  lgamucov  24664  lgamcvg2  24681  ftalem3  24701  smcnlem  27398  hhcnf  28610  tpr2rico  29737  qqhucn  29815  blsconn  30931  cnllysconn  30932  ftc1cnnc  33113  cntotbnd  33224  reheibor  33267  binomcxplemdvbinom  38031  binomcxplemnotnn0  38034  iooabslt  39129  limcrecl  39262  islpcn  39272  stirlinglem5  39599
  Copyright terms: Public domain W3C validator