MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coass 5623
Description: Associative law for class composition. Theorem 27 of [Suppes] p. 64. Also Exercise 21 of [Enderton] p. 53. Interestingly, this law holds for any classes whatsoever, not just functions or even relations. (Contributed by NM, 27-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
coass ((𝐴𝐵) ∘ 𝐶) = (𝐴 ∘ (𝐵𝐶))

Proof of Theorem coass
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 5602 . 2 Rel ((𝐴𝐵) ∘ 𝐶)
2 relco 5602 . 2 Rel (𝐴 ∘ (𝐵𝐶))
3 excom 2039 . . . 4 (∃𝑧𝑤(𝑥𝐶𝑧 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝑤𝐴𝑦)) ↔ ∃𝑤𝑧(𝑥𝐶𝑧 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝑤𝐴𝑦)))
4 anass 680 . . . . 5 (((𝑥𝐶𝑧𝑧𝐵𝑤) ∧ 𝑤𝐴𝑦) ↔ (𝑥𝐶𝑧 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝑤𝐴𝑦)))
542exbii 1772 . . . 4 (∃𝑤𝑧((𝑥𝐶𝑧𝑧𝐵𝑤) ∧ 𝑤𝐴𝑦) ↔ ∃𝑤𝑧(𝑥𝐶𝑧 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝑤𝐴𝑦)))
63, 5bitr4i 267 . . 3 (∃𝑧𝑤(𝑥𝐶𝑧 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝑤𝐴𝑦)) ↔ ∃𝑤𝑧((𝑥𝐶𝑧𝑧𝐵𝑤) ∧ 𝑤𝐴𝑦))
7 vex 3193 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
8 vex 3193 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
97, 8brco 5262 . . . . . 6 (𝑧(𝐴𝐵)𝑦 ↔ ∃𝑤(𝑧𝐵𝑤𝑤𝐴𝑦))
109anbi2i 729 . . . . 5 ((𝑥𝐶𝑧𝑧(𝐴𝐵)𝑦) ↔ (𝑥𝐶𝑧 ∧ ∃𝑤(𝑧𝐵𝑤𝑤𝐴𝑦)))
1110exbii 1771 . . . 4 (∃𝑧(𝑥𝐶𝑧𝑧(𝐴𝐵)𝑦) ↔ ∃𝑧(𝑥𝐶𝑧 ∧ ∃𝑤(𝑧𝐵𝑤𝑤𝐴𝑦)))
12 vex 3193 . . . . 5 𝑥 ∈ V
1312, 8opelco 5263 . . . 4 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐴𝐵) ∘ 𝐶) ↔ ∃𝑧(𝑥𝐶𝑧𝑧(𝐴𝐵)𝑦))
14 exdistr 1916 . . . 4 (∃𝑧𝑤(𝑥𝐶𝑧 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝑤𝐴𝑦)) ↔ ∃𝑧(𝑥𝐶𝑧 ∧ ∃𝑤(𝑧𝐵𝑤𝑤𝐴𝑦)))
1511, 13, 143bitr4i 292 . . 3 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐴𝐵) ∘ 𝐶) ↔ ∃𝑧𝑤(𝑥𝐶𝑧 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝑤𝐴𝑦)))
16 vex 3193 . . . . . . 7 𝑤 ∈ V
1712, 16brco 5262 . . . . . 6 (𝑥(𝐵𝐶)𝑤 ↔ ∃𝑧(𝑥𝐶𝑧𝑧𝐵𝑤))
1817anbi1i 730 . . . . 5 ((𝑥(𝐵𝐶)𝑤𝑤𝐴𝑦) ↔ (∃𝑧(𝑥𝐶𝑧𝑧𝐵𝑤) ∧ 𝑤𝐴𝑦))
1918exbii 1771 . . . 4 (∃𝑤(𝑥(𝐵𝐶)𝑤𝑤𝐴𝑦) ↔ ∃𝑤(∃𝑧(𝑥𝐶𝑧𝑧𝐵𝑤) ∧ 𝑤𝐴𝑦))
2012, 8opelco 5263 . . . 4 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ∘ (𝐵𝐶)) ↔ ∃𝑤(𝑥(𝐵𝐶)𝑤𝑤𝐴𝑦))
21 19.41v 1911 . . . . 5 (∃𝑧((𝑥𝐶𝑧𝑧𝐵𝑤) ∧ 𝑤𝐴𝑦) ↔ (∃𝑧(𝑥𝐶𝑧𝑧𝐵𝑤) ∧ 𝑤𝐴𝑦))
2221exbii 1771 . . . 4 (∃𝑤𝑧((𝑥𝐶𝑧𝑧𝐵𝑤) ∧ 𝑤𝐴𝑦) ↔ ∃𝑤(∃𝑧(𝑥𝐶𝑧𝑧𝐵𝑤) ∧ 𝑤𝐴𝑦))
2319, 20, 223bitr4i 292 . . 3 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ∘ (𝐵𝐶)) ↔ ∃𝑤𝑧((𝑥𝐶𝑧𝑧𝐵𝑤) ∧ 𝑤𝐴𝑦))
246, 15, 233bitr4i 292 . 2 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐴𝐵) ∘ 𝐶) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ∘ (𝐵𝐶)))
251, 2, 24eqrelriiv 5185 1 ((𝐴𝐵) ∘ 𝐶) = (𝐴 ∘ (𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  cop 4161   class class class wbr 4623  ccom 5088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pr 4877
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-rab 2917  df-v 3192  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-br 4624  df-opab 4684  df-xp 5090  df-rel 5091  df-co 5093
This theorem is referenced by:  funcoeqres  6134  fcof1oinvd  6513  tposco  7343  mapen  8084  mapfien  8273  hashfacen  13192  relexpsucnnl  13722  relexpaddnn  13741  cofuass  16489  setccatid  16674  estrccatid  16712  frmdup3lem  17343  symggrp  17760  f1omvdco2  17808  symggen  17830  psgnunilem1  17853  gsumval3  18248  gsumzf1o  18253  gsumzmhm  18277  prds1  18554  psrass1lem  19317  pf1mpf  19656  pf1ind  19659  qtophmeo  21560  uniioombllem2  23291  cncombf  23365  motgrp  25372  pjsdi2i  28904  pjadj2coi  28951  pj3lem1  28953  pj3i  28955  fcoinver  29302  fcobij  29384  fcobijfs  29385  symgfcoeu  29672  derangenlem  30914  subfacp1lem5  30927  erdsze2lem2  30947  pprodcnveq  31685  cocnv  33191  ltrncoidN  34933  trlcoabs2N  35529  trlcoat  35530  trlcone  35535  cdlemg46  35542  cdlemg47  35543  ltrnco4  35546  tgrpgrplem  35556  tendoplass  35590  cdlemi2  35626  cdlemk2  35639  cdlemk4  35641  cdlemk8  35645  cdlemk45  35754  cdlemk54  35765  cdlemk55a  35766  erngdvlem3  35797  erngdvlem3-rN  35805  tendocnv  35829  dvhvaddass  35905  dvhlveclem  35916  cdlemn8  36012  dihopelvalcpre  36056  dih1dimatlem0  36136  diophrw  36841  eldioph2  36844  mendring  37282  cortrcltrcl  37552  corclrtrcl  37553  cortrclrcl  37555  cotrclrtrcl  37556  cortrclrtrcl  37557  frege131d  37576  brcofffn  37850  brco3f1o  37852  neicvgnvo  37934  volicoff  39549  voliooicof  39550  ovolval4lem2  40201  rngccatidALTV  41307  ringccatidALTV  41370
  Copyright terms: Public domain W3C validator