MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe0 24773
Description: The coefficients of the zero polynomial are zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
coe0 (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})

Proof of Theorem coe0
StepHypRef Expression
1 0cnd 10622 . . . 4 (⊤ → 0 ∈ ℂ)
2 ssid 3986 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
3 ply0 24725 . . . . 5 (ℂ ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ))
42, 3ax-mp 5 . . . 4 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ)
5 coemulc 24772 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ)) → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝)) = ((ℕ0 × {0}) ∘f · (coeff‘0𝑝)))
61, 4, 5sylancl 586 . . 3 (⊤ → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝)) = ((ℕ0 × {0}) ∘f · (coeff‘0𝑝)))
7 cnex 10606 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
87a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ℂ ∈ V)
9 plyf 24715 . . . . . . 7 (0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ) → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
104, 9mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
11 mul02 10806 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
1211adantl 482 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
138, 10, 1, 1, 12caofid2 7429 . . . . 5 (⊤ → ((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝) = (ℂ × {0}))
14 df-0p 24198 . . . . 5 0𝑝 = (ℂ × {0})
1513, 14syl6eqr 2871 . . . 4 (⊤ → ((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝) = 0𝑝)
1615fveq2d 6667 . . 3 (⊤ → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘f · 0𝑝)) = (coeff‘0𝑝))
17 nn0ex 11891 . . . . 5 0 ∈ V
1817a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℕ0 ∈ V)
19 eqid 2818 . . . . . 6 (coeff‘0𝑝) = (coeff‘0𝑝)
2019coef3 24749 . . . . 5 (0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ) → (coeff‘0𝑝):ℕ0⟶ℂ)
214, 20mp1i 13 . . . 4 (⊤ → (coeff‘0𝑝):ℕ0⟶ℂ)
2218, 21, 1, 1, 12caofid2 7429 . . 3 (⊤ → ((ℕ0 × {0}) ∘f · (coeff‘0𝑝)) = (ℕ0 × {0}))
236, 16, 223eqtr3d 2861 . 2 (⊤ → (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0}))
2423mptru 1535 1 (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wtru 1529  wcel 2105  Vcvv 3492  wss 3933  {csn 4557   × cxp 5546  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  cc 10523  0cc0 10525   · cmul 10530  0cn0 11885  0𝑝c0p 24197  Polycply 24701  coeffccoe 24703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-0p 24198  df-ply 24705  df-coe 24707  df-dgr 24708
This theorem is referenced by:  dgreq0  24782  dgrlt  24783  plymul0or  24797  plydivlem4  24812  plymulx  31717  mncn0  39617  aaitgo  39640  n0p  41182  elaa2  42396  aacllem  44830
  Copyright terms: Public domain W3C validator