Theorem coe1add 19403

Description: The coefficient vector of an addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1add.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
coe1add.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1add.p	⊢ ✚ = (+g‘𝑌)
coe1add.q	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1add	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = ((coe1‘𝐹) ∘𝑓 + (coe1‘𝐺)))

Proof of Theorem coe1add

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2609	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
2		coe1add.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2609	. . . . . 6 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
4		coe1add.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5	2, 3, 4	ply1bas 19334	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
6		coe1add.q	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
7		coe1add.p	. . . . . 6 ⊢ ✚ = (+g‘𝑌)
8	2, 1, 7	ply1plusg 19364	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
9		simp2 1054	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐵)
10		simp3 1055	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
11	1, 5, 6, 8, 9, 10	mpladd 19211	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ✚ 𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))
12	11	coeq1d 5192	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ✚ 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
13		eqid 2609	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	2, 4, 13	ply1basf 19341	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶(Base‘𝑅))
15		ffn 5943	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶(Base‘𝑅) → 𝐹 Fn (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 Fn (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
17	16	3ad2ant2 1075	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
18	2, 4, 13	ply1basf 19341	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶(Base‘𝑅))
19		ffn 5943	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶(Base‘𝑅) → 𝐺 Fn (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺 Fn (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
21	20	3ad2ant3 1076	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 Fn (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
22		df1o2 7436	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 = {∅}
23		nn0ex 11147	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
24		0ex 4712	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
25		eqid 2609	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))
26	22, 23, 24, 25	mapsnf1o3 7769	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})):ℕ0–1-1-onto→(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)
27		f1of 6034	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})):ℕ0–1-1-onto→(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})):ℕ0⟶(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
28	26, 27	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})):ℕ0⟶(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
29		ovex 6554	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∈ V
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∈ V)
31	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
32		inidm 3783	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∩ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) = (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)
33	17, 21, 28, 30, 30, 31, 32	ofco 6792	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) ∘𝑓 + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})))))
34	12, 33	eqtrd 2643	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ✚ 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) ∘𝑓 + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})))))
35	2	ply1ring 19387	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
36	4, 7	ringacl 18349	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ✚ 𝐺) ∈ 𝐵)
37	35, 36	syl3an1 1350	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ✚ 𝐺) ∈ 𝐵)
38		eqid 2609	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺))
39	38, 4, 2, 25	coe1fval2 19349	. . 3 ⊢ ((𝐹 ✚ 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = ((𝐹 ✚ 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
40	37, 39	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = ((𝐹 ✚ 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
41		eqid 2609	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
42	41, 4, 2, 25	coe1fval2 19349	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
43	42	3ad2ant2 1075	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
44		eqid 2609	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
45	44, 4, 2, 25	coe1fval2 19349	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺) = (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
46	45	3ad2ant3 1076	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐺) = (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
47	43, 46	oveq12d 6544	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐹) ∘𝑓 + (coe1‘𝐺)) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) ∘𝑓 + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})))))
48	34, 40, 47	3eqtr4d 2653	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = ((coe1‘𝐹) ∘𝑓 + (coe1‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1030   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  Vcvv 3172  ∅c0 3873  {csn 4124   ↦ cmpt 4637   × cxp 5025   ∘ ccom 5031   Fn wfn 5784  ⟶wf 5785  –1-1-onto→wf1o 5788  ‘cfv 5789  (class class class)co 6526   ∘_𝑓 cof 6770  1_𝑜c1o 7417   ↑_𝑚 cmap 7721  ℕ₀cn0 11141  Basecbs 15643  +_gcplusg 15716  Ringcrg 18318   mPoly cmpl 19122  PwSer₁cps1 19314  Poly₁cpl1 19316  coe₁cco1 19317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-ofr 6773  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-seq 12621  df-hash 12937  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-tset 15735  df-ple 15736  df-0g 15873  df-gsum 15874  df-mre 16017  df-mrc 16018  df-acs 16020  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-mhm 17106  df-submnd 17107  df-grp 17196  df-minusg 17197  df-mulg 17312  df-subg 17362  df-ghm 17429  df-cntz 17521  df-cmn 17966  df-abl 17967  df-mgp 18261  df-ur 18273  df-ring 18320  df-subrg 18549  df-psr 19125  df-mpl 19127  df-opsr 19129  df-psr1 19319  df-ply1 19321  df-coe1 19322

This theorem is referenced by:  coe1addfv  19404