Theorem coe1add 19682

Description: The coefficient vector of an addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1add.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
coe1add.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1add.p	⊢ ✚ = (+g‘𝑌)
coe1add.q	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1add	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = ((coe1‘𝐹) ∘𝑓 + (coe1‘𝐺)))

Proof of Theorem coe1add

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
2		coe1add.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2651	. . . . . 6 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
4		coe1add.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5	2, 3, 4	ply1bas 19613	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
6		coe1add.q	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
7		coe1add.p	. . . . . 6 ⊢ ✚ = (+g‘𝑌)
8	2, 1, 7	ply1plusg 19643	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
9		simp2 1082	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐵)
10		simp3 1083	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
11	1, 5, 6, 8, 9, 10	mpladd 19490	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ✚ 𝐺) = (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))
12	11	coeq1d 5316	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ✚ 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
13		eqid 2651	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	2, 4, 13	ply1basf 19620	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶(Base‘𝑅))
15		ffn 6083	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶(Base‘𝑅) → 𝐹 Fn (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 Fn (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
17	16	3ad2ant2 1103	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐹 Fn (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
18	2, 4, 13	ply1basf 19620	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶(Base‘𝑅))
19		ffn 6083	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶(Base‘𝑅) → 𝐺 Fn (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → 𝐺 Fn (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
21	20	3ad2ant3 1104	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → 𝐺 Fn (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
22		df1o2 7617	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 = {∅}
23		nn0ex 11336	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
24		0ex 4823	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
25		eqid 2651	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))
26	22, 23, 24, 25	mapsnf1o3 7948	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})):ℕ0–1-1-onto→(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)
27		f1of 6175	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})):ℕ0–1-1-onto→(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})):ℕ0⟶(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
28	26, 27	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})):ℕ0⟶(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
29		ovexd 6720	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∈ V)
30	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
31		inidm 3855	. . . 4 ⊢ ((ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∩ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) = (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)
32	17, 21, 28, 29, 29, 30, 31	ofco 6959	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) ∘𝑓 + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})))))
33	12, 32	eqtrd 2685	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹 ✚ 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) ∘𝑓 + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})))))
34	2	ply1ring 19666	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
35	4, 7	ringacl 18624	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ✚ 𝐺) ∈ 𝐵)
36	34, 35	syl3an1 1399	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ✚ 𝐺) ∈ 𝐵)
37		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺))
38	37, 4, 2, 25	coe1fval2 19628	. . 3 ⊢ ((𝐹 ✚ 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = ((𝐹 ✚ 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
39	36, 38	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = ((𝐹 ✚ 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
40		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
41	40, 4, 2, 25	coe1fval2 19628	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
42	41	3ad2ant2 1103	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
43		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
44	43, 4, 2, 25	coe1fval2 19628	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺) = (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
45	44	3ad2ant3 1104	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘𝐺) = (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
46	42, 45	oveq12d 6708	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((coe1‘𝐹) ∘𝑓 + (coe1‘𝐺)) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) ∘𝑓 + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})))))
47	33, 39, 46	3eqtr4d 2695	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ✚ 𝐺)) = ((coe1‘𝐹) ∘𝑓 + (coe1‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  ∅c0 3948  {csn 4210   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141   ∘ ccom 5147   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘_𝑓 cof 6937  1_𝑜c1o 7598   ↑_𝑚 cmap 7899  ℕ₀cn0 11330  Basecbs 15904  +_gcplusg 15988  Ringcrg 18593   mPoly cmpl 19401  PwSer₁cps1 19593  Poly₁cpl1 19595  coe₁cco1 19596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-ple 16008  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-subrg 18826  df-psr 19404  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-psr1 19598  df-ply1 19600  df-coe1 19601

This theorem is referenced by:  coe1addfv  19683