Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1add Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The coefficient vector of an addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
coe1add ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((coe1𝐹) ∘𝑓 + (coe1𝐺)))

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . . 5 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
2 coe1add.y . . . . . 6 𝑌 = (Poly1𝑅)
3 eqid 2651 . . . . . 6 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
4 coe1add.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
52, 3, 4ply1bas 19613 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
6 coe1add.q . . . . 5 + = (+g𝑅)
7 coe1add.p . . . . . 6 = (+g𝑌)
82, 1, 7ply1plusg 19643 . . . . 5 = (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
9 simp2 1082 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹𝐵)
10 simp3 1083 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺𝐵)
111, 5, 6, 8, 9, 10mpladd 19490 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐹𝑓 + 𝐺))
1211coeq1d 5316 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) = ((𝐹𝑓 + 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
13 eqid 2651 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
142, 4, 13ply1basf 19620 . . . . . 6 (𝐹𝐵𝐹:(ℕ0𝑚 1𝑜)⟶(Base‘𝑅))
15 ffn 6083 . . . . . 6 (𝐹:(ℕ0𝑚 1𝑜)⟶(Base‘𝑅) → 𝐹 Fn (ℕ0𝑚 1𝑜))
1614, 15syl 17 . . . . 5 (𝐹𝐵𝐹 Fn (ℕ0𝑚 1𝑜))
17163ad2ant2 1103 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹 Fn (ℕ0𝑚 1𝑜))
182, 4, 13ply1basf 19620 . . . . . 6 (𝐺𝐵𝐺:(ℕ0𝑚 1𝑜)⟶(Base‘𝑅))
19 ffn 6083 . . . . . 6 (𝐺:(ℕ0𝑚 1𝑜)⟶(Base‘𝑅) → 𝐺 Fn (ℕ0𝑚 1𝑜))
2018, 19syl 17 . . . . 5 (𝐺𝐵𝐺 Fn (ℕ0𝑚 1𝑜))
21203ad2ant3 1104 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺 Fn (ℕ0𝑚 1𝑜))
22 df1o2 7617 . . . . . 6 1𝑜 = {∅}
23 nn0ex 11336 . . . . . 6 0 ∈ V
24 0ex 4823 . . . . . 6 ∅ ∈ V
25 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))
2622, 23, 24, 25mapsnf1o3 7948 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})):ℕ01-1-onto→(ℕ0𝑚 1𝑜)
27 f1of 6175 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})):ℕ01-1-onto→(ℕ0𝑚 1𝑜) → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})):ℕ0⟶(ℕ0𝑚 1𝑜))
2826, 27mp1i 13 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})):ℕ0⟶(ℕ0𝑚 1𝑜))
29 ovexd 6720 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (ℕ0𝑚 1𝑜) ∈ V)
3023a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ℕ0 ∈ V)
31 inidm 3855 . . . 4 ((ℕ0𝑚 1𝑜) ∩ (ℕ0𝑚 1𝑜)) = (ℕ0𝑚 1𝑜)
3217, 21, 28, 29, 29, 30, 31ofco 6959 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹𝑓 + 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) ∘𝑓 + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})))))
3312, 32eqtrd 2685 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) ∘𝑓 + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})))))
342ply1ring 19666 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
354, 7ringacl 18624 . . . 4 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
3634, 35syl3an1 1399 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
37 eqid 2651 . . . 4 (coe1‘(𝐹 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 𝐺))
3837, 4, 2, 25coe1fval2 19628 . . 3 ((𝐹 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
3936, 38syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
40 eqid 2651 . . . . 5 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
4140, 4, 2, 25coe1fval2 19628 . . . 4 (𝐹𝐵 → (coe1𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
42413ad2ant2 1103 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
43 eqid 2651 . . . . 5 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
4443, 4, 2, 25coe1fval2 19628 . . . 4 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺) = (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
45443ad2ant3 1104 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐺) = (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
4642, 45oveq12d 6708 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((coe1𝐹) ∘𝑓 + (coe1𝐺)) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) ∘𝑓 + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})))))
4733, 39, 463eqtr4d 2695 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((coe1𝐹) ∘𝑓 + (coe1𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  ∅c0 3948  {csn 4210   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141   ∘ ccom 5147   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937  1𝑜c1o 7598   ↑𝑚 cmap 7899  ℕ0cn0 11330  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  Ringcrg 18593   mPoly cmpl 19401  PwSer1cps1 19593  Poly1cpl1 19595  coe1cco1 19596 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-ple 16008  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-subrg 18826  df-psr 19404  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-psr1 19598  df-ply1 19600  df-coe1 19601 This theorem is referenced by:  coe1addfv  19683
 Copyright terms: Public domain W3C validator