MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1addfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1addfv 19402
Description: A particular coefficient of an addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1add.y 𝑌 = (Poly1𝑅)
coe1add.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1add.p = (+g𝑌)
coe1add.q + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1addfv (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) = (((coe1𝐹)‘𝑋) + ((coe1𝐺)‘𝑋)))

Proof of Theorem coe1addfv
StepHypRef Expression
1 coe1add.y . . . . 5 𝑌 = (Poly1𝑅)
2 coe1add.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 coe1add.p . . . . 5 = (+g𝑌)
4 coe1add.q . . . . 5 + = (+g𝑅)
51, 2, 3, 4coe1add 19401 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((coe1𝐹) ∘𝑓 + (coe1𝐺)))
65adantr 479 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((coe1𝐹) ∘𝑓 + (coe1𝐺)))
76fveq1d 6090 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) = (((coe1𝐹) ∘𝑓 + (coe1𝐺))‘𝑋))
8 eqid 2609 . . . . . . 7 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
9 eqid 2609 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
108, 2, 1, 9coe1f 19348 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → (coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
11 ffn 5944 . . . . . 6 ((coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅) → (coe1𝐹) Fn ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝐹𝐵 → (coe1𝐹) Fn ℕ0)
13123ad2ant2 1075 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐹) Fn ℕ0)
1413adantr 479 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (coe1𝐹) Fn ℕ0)
15 eqid 2609 . . . . . . 7 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
1615, 2, 1, 9coe1f 19348 . . . . . 6 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
17 ffn 5944 . . . . . 6 ((coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅) → (coe1𝐺) Fn ℕ0)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺) Fn ℕ0)
19183ad2ant3 1076 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐺) Fn ℕ0)
2019adantr 479 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (coe1𝐺) Fn ℕ0)
21 nn0ex 11145 . . . 4 0 ∈ V
2221a1i 11 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ℕ0 ∈ V)
23 simpr 475 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℕ0)
24 fnfvof 6786 . . 3 ((((coe1𝐹) Fn ℕ0 ∧ (coe1𝐺) Fn ℕ0) ∧ (ℕ0 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℕ0)) → (((coe1𝐹) ∘𝑓 + (coe1𝐺))‘𝑋) = (((coe1𝐹)‘𝑋) + ((coe1𝐺)‘𝑋)))
2514, 20, 22, 23, 24syl22anc 1318 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1𝐹) ∘𝑓 + (coe1𝐺))‘𝑋) = (((coe1𝐹)‘𝑋) + ((coe1𝐺)‘𝑋)))
267, 25eqtrd 2643 1 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) = (((coe1𝐹)‘𝑋) + ((coe1𝐺)‘𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172   Fn wfn 5785  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑓 cof 6770  0cn0 11139  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  Ringcrg 18316  Poly1cpl1 19314  coe1cco1 19315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-ofr 6773  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-hash 12935  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-tset 15733  df-ple 15734  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-mulg 17310  df-subg 17360  df-ghm 17427  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-subrg 18547  df-psr 19123  df-mpl 19125  df-opsr 19127  df-psr1 19317  df-ply1 19319  df-coe1 19320
This theorem is referenced by:  coe1subfv  19403  coe1fzgsumdlem  19438  pm2mpghm  20382  deg1add  23584  hbtlem2  36516
  Copyright terms: Public domain W3C validator