MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1fv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1fv 19624
Description: Value of an evaluated coefficient in a polynomial coefficient vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1fval.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
coe1fv ((𝐹𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) = (𝐹‘(1𝑜 × {𝑁})))

Proof of Theorem coe1fv
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1fval.a . . . 4 𝐴 = (coe1𝐹)
21coe1fval 19623 . . 3 (𝐹𝑉𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1𝑜 × {𝑛}))))
32fveq1d 6231 . 2 (𝐹𝑉 → (𝐴𝑁) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1𝑜 × {𝑛})))‘𝑁))
4 sneq 4220 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → {𝑛} = {𝑁})
54xpeq2d 5173 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (1𝑜 × {𝑛}) = (1𝑜 × {𝑁}))
65fveq2d 6233 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (𝐹‘(1𝑜 × {𝑛})) = (𝐹‘(1𝑜 × {𝑁})))
7 eqid 2651 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1𝑜 × {𝑛}))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1𝑜 × {𝑛})))
8 fvex 6239 . . 3 (𝐹‘(1𝑜 × {𝑁})) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6321 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1𝑜 × {𝑛})))‘𝑁) = (𝐹‘(1𝑜 × {𝑁})))
103, 9sylan9eq 2705 1 ((𝐹𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) = (𝐹‘(1𝑜 × {𝑁})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  {csn 4210  cmpt 4762   × cxp 5141  cfv 5926  1𝑜c1o 7598  0cn0 11330  coe1cco1 19596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-nn 11059  df-n0 11331  df-coe1 19601
This theorem is referenced by:  fvcoe1  19625  coe1mul2  19687  deg1le0  23916
  Copyright terms: Public domain W3C validator