Theorem coe1fv 19624

Description: Value of an evaluated coefficient in a polynomial coefficient vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
coe1fval.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coe1fv	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑁) = (𝐹‘(1𝑜 × {𝑁})))

Proof of Theorem coe1fv

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1fval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
2	1	coe1fval 19623	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1𝑜 × {𝑛}))))
3	2	fveq1d 6231	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐴‘𝑁) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1𝑜 × {𝑛})))‘𝑁))
4		sneq 4220	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑛} = {𝑁})
5	4	xpeq2d 5173	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1𝑜 × {𝑛}) = (1𝑜 × {𝑁}))
6	5	fveq2d 6233	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐹‘(1𝑜 × {𝑛})) = (𝐹‘(1𝑜 × {𝑁})))
7		eqid 2651	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1𝑜 × {𝑛}))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1𝑜 × {𝑛})))
8		fvex 6239	. . 3 ⊢ (𝐹‘(1𝑜 × {𝑁})) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6321	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1𝑜 × {𝑛})))‘𝑁) = (𝐹‘(1𝑜 × {𝑁})))
10	3, 9	sylan9eq 2705	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑁) = (𝐹‘(1𝑜 × {𝑁})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {csn 4210   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141  ‘cfv 5926  1_𝑜c1o 7598  ℕ₀cn0 11330  coe₁cco1 19596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-nn 11059  df-n0 11331  df-coe1 19601

This theorem is referenced by:  fvcoe1  19625  coe1mul2  19687  deg1le0  23916