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Theorem coe1fzgsumdlem 19719
Description: Lemma for coe1fzgsumd 19720 (induction step). (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fzgsumd.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1fzgsumd.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1fzgsumd.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
coe1fzgsumd.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
coe1fzgsumdlem ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → ((∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑚   𝑥,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑎)   𝐵(𝑚,𝑎)   𝑃(𝑥,𝑚,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑚,𝑎)   𝐾(𝑚,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑎)

Proof of Theorem coe1fzgsumdlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralunb 3827 . . 3 (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵 ↔ (∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵))
2 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝑀
3 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑦 / 𝑥𝑀
4 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦𝑀 = 𝑦 / 𝑥𝑀)
52, 3, 4cbvmpt 4782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀) = (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝑀)
65oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝑀))
7 coe1fzgsumd.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝑃)
8 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (+g𝑃) = (+g𝑃)
9 coe1fzgsumd.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
10 coe1fzgsumd.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑃 = (Poly1𝑅)
1110ply1ring 19666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
13 ringcmn 18627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑃 ∈ CMnd)
15143ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → 𝑃 ∈ CMnd)
1615ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
17 simpll1 1120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝑚 ∈ Fin)
18 rspcsbela 4039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦𝑚 ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) → 𝑦 / 𝑥𝑀𝐵)
1918expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀𝐵))
2019adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) → (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀𝐵))
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀𝐵))
2221imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ 𝑦𝑚) → 𝑦 / 𝑥𝑀𝐵)
23 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑎 ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝑎 ∈ V)
25 simpll2 1121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ¬ 𝑎𝑚)
26 vsnid 4242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑎 ∈ {𝑎}
27 rspcsbela 4039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ {𝑎} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝑎 / 𝑥𝑀𝐵)
2826, 27mpan 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵𝑎 / 𝑥𝑀𝐵)
2928adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝑎 / 𝑥𝑀𝐵)
30 csbeq1 3569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑎𝑦 / 𝑥𝑀 = 𝑎 / 𝑥𝑀)
317, 8, 16, 17, 22, 24, 25, 29, 30gsumunsn 18405 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (𝑃 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))
326, 31syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))
332, 3, 4cbvmpt 4782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑚𝑀) = (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀)
3433eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀) = (𝑥𝑚𝑀)
3534oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀)) = (𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))
3635oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀) = ((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀)
3732, 36syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)) = ((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))
3837fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀))) = (coe1‘((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀)))
3938fveq1d 6231 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = ((coe1‘((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))‘𝐾))
4093ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → 𝑅 ∈ Ring)
4140ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
42 simplr 807 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵)
437, 16, 17, 42gsummptcl 18412 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)) ∈ 𝐵)
44 coe1fzgsumd.k . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
45443ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → 𝐾 ∈ ℕ0)
4645ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ0)
47 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4810, 7, 8, 47coe1addfv 19683 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)) ∈ 𝐵𝑎 / 𝑥𝑀𝐵) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))‘𝐾) = (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾)(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)))
4941, 43, 29, 46, 48syl31anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ((coe1‘((𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀))(+g𝑃)𝑎 / 𝑥𝑀))‘𝐾) = (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾)(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)))
5039, 49eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾)(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)))
51 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾)(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)) = ((𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)))
5250, 51sylan9eq 2705 . . . . . . . . 9 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = ((𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)))
53 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦((coe1𝑀)‘𝐾)
54 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾)
55 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → ((coe1𝑀)‘𝐾) = 𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾))
5653, 54, 55cbvmpt 4782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)) = (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾))
5756oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾)))
58 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
59 ringcmn 18627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
609, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
61603ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → 𝑅 ∈ CMnd)
6261ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
63 csbfv12 6269 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾) = (𝑦 / 𝑥(coe1𝑀)‘𝑦 / 𝑥𝐾)
64 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 ∈ V
65 csbfv2g 6270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ V → 𝑦 / 𝑥(coe1𝑀) = (coe1𝑦 / 𝑥𝑀))
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 / 𝑥(coe1𝑀) = (coe1𝑦 / 𝑥𝑀)
67 csbconstg 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ V → 𝑦 / 𝑥𝐾 = 𝐾)
6864, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 / 𝑥𝐾 = 𝐾
6966, 68fveq12i 6234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 / 𝑥(coe1𝑀)‘𝑦 / 𝑥𝐾) = ((coe1𝑦 / 𝑥𝑀)‘𝐾)
7063, 69eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾) = ((coe1𝑦 / 𝑥𝑀)‘𝐾)
71 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (coe1𝑦 / 𝑥𝑀) = (coe1𝑦 / 𝑥𝑀)
7271, 7, 10, 58coe1f 19629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 / 𝑥𝑀𝐵 → (coe1𝑦 / 𝑥𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
7322, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ 𝑦𝑚) → (coe1𝑦 / 𝑥𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
7445adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ0)
7574ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ 𝑦𝑚) → 𝐾 ∈ ℕ0)
7673, 75ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ 𝑦𝑚) → ((coe1𝑦 / 𝑥𝑀)‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
7770, 76syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ 𝑦𝑚) → 𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
78 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (coe1𝑎 / 𝑥𝑀) = (coe1𝑎 / 𝑥𝑀)
7978, 7, 10, 58coe1f 19629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 / 𝑥𝑀𝐵 → (coe1𝑎 / 𝑥𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
8029, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (coe1𝑎 / 𝑥𝑀):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
8180, 46ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
82 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑎
83 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥coe1
84 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑎 / 𝑥𝑀
8583, 84nffv 6236 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(coe1𝑎 / 𝑥𝑀)
86 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝐾
8785, 86nffv 6236 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)
88 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎𝑀 = 𝑎 / 𝑥𝑀)
8988fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → (coe1𝑀) = (coe1𝑎 / 𝑥𝑀))
9089fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → ((coe1𝑀)‘𝐾) = ((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾))
9182, 87, 90csbhypf 3585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑎𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾) = ((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾))
9258, 47, 62, 17, 77, 24, 25, 81, 91gsumunsn 18405 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾))) = ((𝑅 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)))
9357, 92syl5eq 2697 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) = ((𝑅 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)))
9453, 54, 55cbvmpt 4782 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)) = (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾))
9594eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾)) = (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))
9695oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾))) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))
9796oveq1i 6700 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Σg (𝑦𝑚𝑦 / 𝑥((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)) = ((𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾))
9893, 97syl6req 2702 . . . . . . . . . 10 ((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
9998adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → ((𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))(+g𝑅)((coe1𝑎 / 𝑥𝑀)‘𝐾)) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
10052, 99eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (((((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) ∧ ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))
101100exp31 629 . . . . . . 7 (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵 → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
102101com23 86 . . . . . 6 (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ ∀𝑥𝑚 𝑀𝐵) → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
103102ex 449 . . . . 5 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → (∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → (((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))) → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))))
104103a2d 29 . . . 4 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → ((∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → (∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))))
105104imp4b 612 . . 3 (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ (∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))) → ((∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎}𝑀𝐵) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))
1061, 105syl5bi 232 . 2 (((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) ∧ (∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))))
107106ex 449 1 ((𝑚 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑎𝑚𝜑) → ((∀𝑥𝑚 𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥𝑚𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥𝑚 ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾)))) → (∀𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎})𝑀𝐵 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ 𝑀)))‘𝐾) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ (𝑚 ∪ {𝑎}) ↦ ((coe1𝑀)‘𝐾))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  csb 3566  cun 3605  {csn 4210  cmpt 4762  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  0cn0 11330  Basecbs 15904  +gcplusg 15988   Σg cgsu 16148  CMndccmn 18239  Ringcrg 18593  Poly1cpl1 19595  coe1cco1 19596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-ple 16008  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-subrg 18826  df-psr 19404  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-psr1 19598  df-ply1 19600  df-coe1 19601
This theorem is referenced by:  coe1fzgsumd  19720
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