MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1sclmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1sclmul 19852
Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sclmul.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1sclmul.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sclmul.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1sclmul.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
coe1sclmul.t = (.r𝑃)
coe1sclmul.u · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1sclmul ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1‘((𝐴𝑋) 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘𝑓 · (coe1𝑌)))

Proof of Theorem coe1sclmul
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2758 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2 coe1sclmul.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
3 coe1sclmul.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 eqid 2758 . . 3 (var1𝑅) = (var1𝑅)
5 eqid 2758 . . 3 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
6 eqid 2758 . . 3 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
7 eqid 2758 . . 3 (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
8 coe1sclmul.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
9 coe1sclmul.t . . 3 = (.r𝑃)
10 coe1sclmul.u . . 3 · = (.r𝑅)
11 simp3 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
12 simp1 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
13 simp2 1132 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑋𝐾)
14 0nn0 11497 . . . 4 0 ∈ ℕ0
1514a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → 0 ∈ ℕ0)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15coe1tmmul 19847 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1‘((𝑋( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) 𝑌)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g𝑅))))
17 coe1sclmul.a . . . . . 6 𝐴 = (algSc‘𝑃)
182, 3, 4, 5, 6, 7, 17ply1scltm 19851 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → (𝐴𝑋) = (𝑋( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))
19183adant3 1127 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝐴𝑋) = (𝑋( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))
2019oveq1d 6826 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → ((𝐴𝑋) 𝑌) = ((𝑋( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) 𝑌))
2120fveq2d 6354 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1‘((𝐴𝑋) 𝑌)) = (coe1‘((𝑋( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) 𝑌)))
22 nn0ex 11488 . . . . 5 0 ∈ V
2322a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → ℕ0 ∈ V)
24 simpl2 1230 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐾)
25 fvexd 6362 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑌)‘𝑥) ∈ V)
26 fconstmpt 5318 . . . . 5 (ℕ0 × {𝑋}) = (𝑥 ∈ ℕ0𝑋)
2726a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (ℕ0 × {𝑋}) = (𝑥 ∈ ℕ0𝑋))
28 eqid 2758 . . . . . . 7 (coe1𝑌) = (coe1𝑌)
2928, 8, 3, 2coe1f 19781 . . . . . 6 (𝑌𝐵 → (coe1𝑌):ℕ0𝐾)
30293ad2ant3 1130 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1𝑌):ℕ0𝐾)
3130feqmptd 6409 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1𝑌) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1𝑌)‘𝑥)))
3223, 24, 25, 27, 31offval2 7077 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → ((ℕ0 × {𝑋}) ∘𝑓 · (coe1𝑌)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((coe1𝑌)‘𝑥))))
33 nn0ge0 11508 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑥)
3433iftrued 4236 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g𝑅)) = (𝑋 · ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0))))
35 nn0cn 11492 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ)
3635subid1d 10571 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 − 0) = 𝑥)
3736fveq2d 6354 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 → ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0)) = ((coe1𝑌)‘𝑥))
3837oveq2d 6827 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑋 · ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0))) = (𝑋 · ((coe1𝑌)‘𝑥)))
3934, 38eqtrd 2792 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g𝑅)) = (𝑋 · ((coe1𝑌)‘𝑥)))
4039mpteq2ia 4890 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((coe1𝑌)‘𝑥)))
4132, 40syl6eqr 2810 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → ((ℕ0 × {𝑋}) ∘𝑓 · (coe1𝑌)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g𝑅))))
4216, 21, 413eqtr4d 2802 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1‘((𝐴𝑋) 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘𝑓 · (coe1𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1630  wcel 2137  Vcvv 3338  ifcif 4228  {csn 4319   class class class wbr 4802  cmpt 4879   × cxp 5262  wf 6043  cfv 6047  (class class class)co 6811  𝑓 cof 7058  0cc0 10126  cle 10265  cmin 10456  0cn0 11482  Basecbs 16057  .rcmulr 16142   ·𝑠 cvsca 16145  0gc0g 16300  .gcmg 17739  mulGrpcmgp 18687  Ringcrg 18745  algSccascl 19511  var1cv1 19746  Poly1cpl1 19747  coe1cco1 19748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-ofr 7061  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-supp 7462  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-2o 7728  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-pm 8024  df-ixp 8073  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fsupp 8439  df-oi 8578  df-card 8953  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-seq 12994  df-hash 13310  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-tset 16160  df-ple 16161  df-0g 16302  df-gsum 16303  df-mre 16446  df-mrc 16447  df-acs 16449  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-mhm 17534  df-submnd 17535  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-sbg 17626  df-mulg 17740  df-subg 17790  df-ghm 17857  df-cntz 17948  df-cmn 18393  df-abl 18394  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-subrg 18978  df-lmod 19065  df-lss 19133  df-ascl 19514  df-psr 19556  df-mvr 19557  df-mpl 19558  df-opsr 19560  df-psr1 19750  df-vr1 19751  df-ply1 19752  df-coe1 19753
This theorem is referenced by:  coe1sclmulfv  19853  deg1mul3  24072  uc1pmon1p  24108
  Copyright terms: Public domain W3C validator