MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1sclmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1sclmul 19421
Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sclmul.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1sclmul.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sclmul.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1sclmul.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
coe1sclmul.t = (.r𝑃)
coe1sclmul.u · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1sclmul ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1‘((𝐴𝑋) 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘𝑓 · (coe1𝑌)))

Proof of Theorem coe1sclmul
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2 coe1sclmul.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
3 coe1sclmul.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 eqid 2609 . . 3 (var1𝑅) = (var1𝑅)
5 eqid 2609 . . 3 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
6 eqid 2609 . . 3 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
7 eqid 2609 . . 3 (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
8 coe1sclmul.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
9 coe1sclmul.t . . 3 = (.r𝑃)
10 coe1sclmul.u . . 3 · = (.r𝑅)
11 simp3 1055 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
12 simp1 1053 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
13 simp2 1054 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑋𝐾)
14 0nn0 11156 . . . 4 0 ∈ ℕ0
1514a1i 11 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → 0 ∈ ℕ0)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15coe1tmmul 19416 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1‘((𝑋( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) 𝑌)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g𝑅))))
17 coe1sclmul.a . . . . . 6 𝐴 = (algSc‘𝑃)
182, 3, 4, 5, 6, 7, 17ply1scltm 19420 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → (𝐴𝑋) = (𝑋( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))
19183adant3 1073 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝐴𝑋) = (𝑋( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))))
2019oveq1d 6541 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → ((𝐴𝑋) 𝑌) = ((𝑋( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) 𝑌))
2120fveq2d 6091 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1‘((𝐴𝑋) 𝑌)) = (coe1‘((𝑋( ·𝑠𝑃)(0(.g‘(mulGrp‘𝑃))(var1𝑅))) 𝑌)))
22 nn0ex 11147 . . . . 5 0 ∈ V
2322a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → ℕ0 ∈ V)
24 simpl2 1057 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐾)
25 fvex 6097 . . . . 5 ((coe1𝑌)‘𝑥) ∈ V
2625a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑌)‘𝑥) ∈ V)
27 fconstmpt 5074 . . . . 5 (ℕ0 × {𝑋}) = (𝑥 ∈ ℕ0𝑋)
2827a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (ℕ0 × {𝑋}) = (𝑥 ∈ ℕ0𝑋))
29 eqid 2609 . . . . . . 7 (coe1𝑌) = (coe1𝑌)
3029, 8, 3, 2coe1f 19350 . . . . . 6 (𝑌𝐵 → (coe1𝑌):ℕ0𝐾)
31303ad2ant3 1076 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1𝑌):ℕ0𝐾)
3231feqmptd 6143 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1𝑌) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1𝑌)‘𝑥)))
3323, 24, 26, 28, 32offval2 6789 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → ((ℕ0 × {𝑋}) ∘𝑓 · (coe1𝑌)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((coe1𝑌)‘𝑥))))
34 nn0ge0 11167 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑥)
3534iftrued 4043 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g𝑅)) = (𝑋 · ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0))))
36 nn0cn 11151 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ)
3736subid1d 10232 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 − 0) = 𝑥)
3837fveq2d 6091 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 → ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0)) = ((coe1𝑌)‘𝑥))
3938oveq2d 6542 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑋 · ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0))) = (𝑋 · ((coe1𝑌)‘𝑥)))
4035, 39eqtrd 2643 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 → if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g𝑅)) = (𝑋 · ((coe1𝑌)‘𝑥)))
4140mpteq2ia 4662 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑋 · ((coe1𝑌)‘𝑥)))
4233, 41syl6eqr 2661 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → ((ℕ0 × {𝑋}) ∘𝑓 · (coe1𝑌)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(0 ≤ 𝑥, (𝑋 · ((coe1𝑌)‘(𝑥 − 0))), (0g𝑅))))
4316, 21, 423eqtr4d 2653 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1‘((𝐴𝑋) 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘𝑓 · (coe1𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  ifcif 4035  {csn 4124   class class class wbr 4577  cmpt 4637   × cxp 5025  wf 5785  cfv 5789  (class class class)co 6526  𝑓 cof 6770  0cc0 9792  cle 9931  cmin 10117  0cn0 11141  Basecbs 15643  .rcmulr 15717   ·𝑠 cvsca 15720  0gc0g 15871  .gcmg 17311  mulGrpcmgp 18260  Ringcrg 18318  algSccascl 19080  var1cv1 19315  Poly1cpl1 19316  coe1cco1 19317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-ofr 6773  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-seq 12621  df-hash 12937  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-tset 15735  df-ple 15736  df-0g 15873  df-gsum 15874  df-mre 16017  df-mrc 16018  df-acs 16020  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-mhm 17106  df-submnd 17107  df-grp 17196  df-minusg 17197  df-sbg 17198  df-mulg 17312  df-subg 17362  df-ghm 17429  df-cntz 17521  df-cmn 17966  df-abl 17967  df-mgp 18261  df-ur 18273  df-ring 18320  df-subrg 18549  df-lmod 18636  df-lss 18702  df-ascl 19083  df-psr 19125  df-mvr 19126  df-mpl 19127  df-opsr 19129  df-psr1 19319  df-vr1 19320  df-ply1 19321  df-coe1 19322
This theorem is referenced by:  coe1sclmulfv  19422  deg1mul3  23623  uc1pmon1p  23659
  Copyright terms: Public domain W3C validator