MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1sclmulfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1sclmulfv 19423
Description: A single coefficient of a polynomial multiplied on the left by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sclmul.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1sclmul.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1sclmul.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1sclmul.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
coe1sclmul.t = (.r𝑃)
coe1sclmul.u · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1sclmulfv ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴𝑋) 𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1𝑌)‘ 0 )))

Proof of Theorem coe1sclmulfv
StepHypRef Expression
1 coe1sclmul.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 coe1sclmul.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 coe1sclmul.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 coe1sclmul.a . . . . . 6 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5 coe1sclmul.t . . . . . 6 = (.r𝑃)
6 coe1sclmul.u . . . . . 6 · = (.r𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6coe1sclmul 19422 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐵) → (coe1‘((𝐴𝑋) 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘𝑓 · (coe1𝑌)))
873expb 1258 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵)) → (coe1‘((𝐴𝑋) 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘𝑓 · (coe1𝑌)))
983adant3 1074 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (coe1‘((𝐴𝑋) 𝑌)) = ((ℕ0 × {𝑋}) ∘𝑓 · (coe1𝑌)))
109fveq1d 6090 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴𝑋) 𝑌))‘ 0 ) = (((ℕ0 × {𝑋}) ∘𝑓 · (coe1𝑌))‘ 0 ))
11 simp3 1056 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
12 nn0ex 11148 . . . . 5 0 ∈ V
1312a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ℕ0 ∈ V)
14 simp2l 1080 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐾)
15 simp2r 1081 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → 𝑌𝐵)
16 eqid 2610 . . . . . 6 (coe1𝑌) = (coe1𝑌)
17 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1816, 2, 1, 17coe1f 19351 . . . . 5 (𝑌𝐵 → (coe1𝑌):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
19 ffn 5944 . . . . 5 ((coe1𝑌):ℕ0⟶(Base‘𝑅) → (coe1𝑌) Fn ℕ0)
2015, 18, 193syl 18 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (coe1𝑌) Fn ℕ0)
21 eqidd 2611 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1𝑌)‘ 0 ) = ((coe1𝑌)‘ 0 ))
2213, 14, 20, 21ofc1 6796 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (((ℕ0 × {𝑋}) ∘𝑓 · (coe1𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1𝑌)‘ 0 )))
2311, 22mpdan 699 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (((ℕ0 × {𝑋}) ∘𝑓 · (coe1𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1𝑌)‘ 0 )))
2410, 23eqtrd 2644 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐴𝑋) 𝑌))‘ 0 ) = (𝑋 · ((coe1𝑌)‘ 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125   × cxp 5026   Fn wfn 5785  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑓 cof 6771  0cn0 11142  Basecbs 15644  .rcmulr 15718  Ringcrg 18319  algSccascl 19081  Poly1cpl1 19317  coe1cco1 19318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-ofr 6774  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-oi 8276  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-seq 12622  df-hash 12938  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-tset 15736  df-ple 15737  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-mhm 17107  df-submnd 17108  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-sbg 17199  df-mulg 17313  df-subg 17363  df-ghm 17430  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-abl 17968  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-subrg 18550  df-lmod 18637  df-lss 18703  df-ascl 19084  df-psr 19126  df-mvr 19127  df-mpl 19128  df-opsr 19130  df-psr1 19320  df-vr1 19321  df-ply1 19322  df-coe1 19323
This theorem is referenced by:  deg1mul3le  23625  hbtlem2  36507  coe1sclmulval  41959
  Copyright terms: Public domain W3C validator