MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1subfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1subfv 20362
Description: A particular coefficient of a subtraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1sub.y 𝑌 = (Poly1𝑅)
coe1sub.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1sub.p = (-g𝑌)
coe1sub.q 𝑁 = (-g𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1subfv (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) = (((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)))

Proof of Theorem coe1subfv
StepHypRef Expression
1 simpl1 1183 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
2 coe1sub.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 20344 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
4 ringgrp 19231 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
6 coe1sub.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑌)
7 coe1sub.p . . . . . . . 8 = (-g𝑌)
86, 7grpsubcl 18117 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
95, 8syl3an1 1155 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
109adantr 481 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
11 simpl3 1185 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝐺𝐵)
12 simpr 485 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℕ0)
13 eqid 2818 . . . . . 6 (+g𝑌) = (+g𝑌)
14 eqid 2818 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
152, 6, 13, 14coe1addfv 20361 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)))
161, 10, 11, 12, 15syl31anc 1365 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺))‘𝑋) = (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)))
1753ad2ant1 1125 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝑌 ∈ Grp)
1817adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ Grp)
19 simpl2 1184 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝐹𝐵)
206, 13, 7grpnpcan 18129 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺) = 𝐹)
2118, 19, 11, 20syl3anc 1363 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺) = 𝐹)
2221fveq2d 6667 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (coe1‘((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺)) = (coe1𝐹))
2322fveq1d 6665 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝐹 𝐺)(+g𝑌)𝐺))‘𝑋) = ((coe1𝐹)‘𝑋))
2416, 23eqtr3d 2855 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1𝐹)‘𝑋))
25 ringgrp 19231 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
26253ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
2726adantr 481 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Grp)
28 eqid 2818 . . . . . . 7 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
29 eqid 2818 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3028, 6, 2, 29coe1f 20307 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → (coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
31303ad2ant2 1126 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
3231ffvelrnda 6843 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1𝐹)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
33 eqid 2818 . . . . . . 7 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
3433, 6, 2, 29coe1f 20307 . . . . . 6 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
35343ad2ant3 1127 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
3635ffvelrnda 6843 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
37 eqid 2818 . . . . . . 7 (coe1‘(𝐹 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 𝐺))
3837, 6, 2, 29coe1f 20307 . . . . . 6 ((𝐹 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹 𝐺)):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
399, 38syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
4039ffvelrnda 6843 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
41 coe1sub.q . . . . 5 𝑁 = (-g𝑅)
4229, 14, 41grpsubadd 18125 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (((coe1𝐹)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1𝐺)‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) ↔ (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1𝐹)‘𝑋)))
4327, 32, 36, 40, 42syl13anc 1364 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) ↔ (((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋)(+g𝑅)((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1𝐹)‘𝑋)))
4424, 43mpbird 258 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)) = ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋))
4544eqcomd 2824 1 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝑋) = (((coe1𝐹)‘𝑋)𝑁((coe1𝐺)‘𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cn0 11885  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  Grpcgrp 18041  -gcsg 18043  Ringcrg 19226  Poly1cpl1 20273  coe1cco1 20274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-tset 16572  df-ple 16573  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-subrg 19462  df-psr 20064  df-mpl 20066  df-opsr 20068  df-psr1 20276  df-ply1 20278  df-coe1 20279
This theorem is referenced by:  deg1sublt  24631  ply1remlem  24683
  Copyright terms: Public domain W3C validator