Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1tm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1tm 19865
 Description: Coefficient vector of a polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z 0 = (0g𝑅)
coe1tm.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1tm.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1tm.x 𝑋 = (var1𝑅)
coe1tm.m · = ( ·𝑠𝑃)
coe1tm.n 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1tm.e = (.g𝑁)
Assertion
Ref Expression
coe1tm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 )))
Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐾   𝑥,   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋   𝑥,𝑅   𝑥, ·

Proof of Theorem coe1tm
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tm.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 coe1tm.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 coe1tm.x . . . 4 𝑋 = (var1𝑅)
4 coe1tm.m . . . 4 · = ( ·𝑠𝑃)
5 coe1tm.n . . . 4 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
6 coe1tm.e . . . 4 = (.g𝑁)
7 eqid 2760 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ply1tmcl 19864 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐷 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃))
9 eqid 2760 . . . 4 (coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋))) = (coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))
10 eqid 2760 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑥}))
119, 7, 2, 10coe1fval2 19802 . . 3 ((𝐶 · (𝐷 𝑋)) ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋))) = ((𝐶 · (𝐷 𝑋)) ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑥}))))
128, 11syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋))) = ((𝐶 · (𝐷 𝑋)) ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑥}))))
13 fconst6g 6255 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ0 → (1𝑜 × {𝑥}):1𝑜⟶ℕ0)
14 nn0ex 11510 . . . . . 6 0 ∈ V
15 1oex 7738 . . . . . 6 1𝑜 ∈ V
1614, 15elmap 8054 . . . . 5 ((1𝑜 × {𝑥}) ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↔ (1𝑜 × {𝑥}):1𝑜⟶ℕ0)
1713, 16sylibr 224 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 → (1𝑜 × {𝑥}) ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜))
1817adantl 473 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (1𝑜 × {𝑥}) ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜))
19 eqidd 2761 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑥})) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑥})))
20 eqid 2760 . . . . . . . 8 (.g‘(mulGrp‘(1𝑜 mPoly 𝑅))) = (.g‘(mulGrp‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
215, 7mgpbas 18715 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑁)
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑁))
23 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (mulGrp‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
24 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
252, 24, 7ply1bas 19787 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑃) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
2623, 25mgpbas 18715 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
2726a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘(1𝑜 mPoly 𝑅))))
28 ssv 3766 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑃) ⊆ V
2928a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ⊆ V)
30 ovexd 6844 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g𝑁)𝑦) ∈ V)
31 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑃) = (.r𝑃)
325, 31mgpplusg 18713 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑃) = (+g𝑁)
33 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
342, 33, 31ply1mulr 19819 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑃) = (.r‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
3523, 34mgpplusg 18713 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑃) = (+g‘(mulGrp‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
3632, 35eqtr3i 2784 . . . . . . . . . 10 (+g𝑁) = (+g‘(mulGrp‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (+g𝑁) = (+g‘(mulGrp‘(1𝑜 mPoly 𝑅))))
3837oveqdr 6838 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g𝑁)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))𝑦))
396, 20, 22, 27, 29, 30, 38mulgpropd 17805 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → = (.g‘(mulGrp‘(1𝑜 mPoly 𝑅))))
40393ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → = (.g‘(mulGrp‘(1𝑜 mPoly 𝑅))))
41 eqidd 2761 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐷 = 𝐷)
423vr1val 19784 . . . . . . 7 𝑋 = ((1𝑜 mVar 𝑅)‘∅)
4342a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → 𝑋 = ((1𝑜 mVar 𝑅)‘∅))
4440, 41, 43oveq123d 6835 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐷 𝑋) = (𝐷(.g‘(mulGrp‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))((1𝑜 mVar 𝑅)‘∅)))
4544oveq2d 6830 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐷 𝑋)) = (𝐶 · (𝐷(.g‘(mulGrp‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))((1𝑜 mVar 𝑅)‘∅))))
46 psr1baslem 19777 . . . . . 6 (ℕ0𝑚 1𝑜) = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
47 coe1tm.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
48 eqid 2760 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
49 1on 7737 . . . . . . 7 1𝑜 ∈ On
5049a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → 1𝑜 ∈ On)
51 eqid 2760 . . . . . 6 (1𝑜 mVar 𝑅) = (1𝑜 mVar 𝑅)
52 simp1 1131 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
53 0lt1o 7755 . . . . . . 7 ∅ ∈ 1𝑜
5453a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → ∅ ∈ 1𝑜)
55 simp3 1133 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℕ0)
5633, 46, 47, 48, 50, 23, 20, 51, 52, 54, 55mplcoe3 19688 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1𝑜 ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), (1r𝑅), 0 )) = (𝐷(.g‘(mulGrp‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))((1𝑜 mVar 𝑅)‘∅)))
5756oveq2d 6830 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1𝑜 ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), (1r𝑅), 0 ))) = (𝐶 · (𝐷(.g‘(mulGrp‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))((1𝑜 mVar 𝑅)‘∅))))
582, 33, 4ply1vsca 19818 . . . . 5 · = ( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
59 elsni 4338 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ {∅} → 𝑏 = ∅)
60 df1o2 7743 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 = {∅}
6159, 60eleq2s 2857 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ 1𝑜𝑏 = ∅)
6261iftrued 4238 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ 1𝑜 → if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0) = 𝐷)
6362adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ 1𝑜) → if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0) = 𝐷)
6463mpteq2dva 4896 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 1𝑜 ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) = (𝑏 ∈ 1𝑜𝐷))
65 fconstmpt 5320 . . . . . . 7 (1𝑜 × {𝐷}) = (𝑏 ∈ 1𝑜𝐷)
6664, 65syl6eqr 2812 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 1𝑜 ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) = (1𝑜 × {𝐷}))
67 fconst6g 6255 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℕ0 → (1𝑜 × {𝐷}):1𝑜⟶ℕ0)
6814, 15elmap 8054 . . . . . . . 8 ((1𝑜 × {𝐷}) ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↔ (1𝑜 × {𝐷}):1𝑜⟶ℕ0)
6967, 68sylibr 224 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℕ0 → (1𝑜 × {𝐷}) ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜))
70693ad2ant3 1130 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → (1𝑜 × {𝐷}) ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜))
7166, 70eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 1𝑜 ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜))
72 simp2 1132 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐶𝐾)
7333, 58, 46, 48, 47, 1, 50, 52, 71, 72mplmon2 19715 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1𝑜 ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), (1r𝑅), 0 ))) = (𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1𝑜 ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 )))
7445, 57, 733eqtr2d 2800 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐷 𝑋)) = (𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1𝑜 ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 )))
75 eqeq1 2764 . . . 4 (𝑦 = (1𝑜 × {𝑥}) → (𝑦 = (𝑏 ∈ 1𝑜 ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) ↔ (1𝑜 × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1𝑜 ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0))))
7675ifbid 4252 . . 3 (𝑦 = (1𝑜 × {𝑥}) → if(𝑦 = (𝑏 ∈ 1𝑜 ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 ) = if((1𝑜 × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1𝑜 ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 ))
7718, 19, 74, 76fmptco 6560 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → ((𝐶 · (𝐷 𝑋)) ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑥}))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if((1𝑜 × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1𝑜 ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 )))
7866adantr 472 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑏 ∈ 1𝑜 ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) = (1𝑜 × {𝐷}))
7978eqeq2d 2770 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1𝑜 × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1𝑜 ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) ↔ (1𝑜 × {𝑥}) = (1𝑜 × {𝐷})))
80 fveq1 6352 . . . . . . 7 ((1𝑜 × {𝑥}) = (1𝑜 × {𝐷}) → ((1𝑜 × {𝑥})‘∅) = ((1𝑜 × {𝐷})‘∅))
81 vex 3343 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
8281fvconst2 6634 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ 1𝑜 → ((1𝑜 × {𝑥})‘∅) = 𝑥)
8353, 82mp1i 13 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1𝑜 × {𝑥})‘∅) = 𝑥)
84 simpl3 1232 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℕ0)
85 fvconst2g 6632 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ ℕ0 ∧ ∅ ∈ 1𝑜) → ((1𝑜 × {𝐷})‘∅) = 𝐷)
8684, 53, 85sylancl 697 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1𝑜 × {𝐷})‘∅) = 𝐷)
8783, 86eqeq12d 2775 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((1𝑜 × {𝑥})‘∅) = ((1𝑜 × {𝐷})‘∅) ↔ 𝑥 = 𝐷))
8880, 87syl5ib 234 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1𝑜 × {𝑥}) = (1𝑜 × {𝐷}) → 𝑥 = 𝐷))
89 sneq 4331 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐷 → {𝑥} = {𝐷})
9089xpeq2d 5296 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐷 → (1𝑜 × {𝑥}) = (1𝑜 × {𝐷}))
9188, 90impbid1 215 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1𝑜 × {𝑥}) = (1𝑜 × {𝐷}) ↔ 𝑥 = 𝐷))
9279, 91bitrd 268 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((1𝑜 × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1𝑜 ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)) ↔ 𝑥 = 𝐷))
9392ifbid 4252 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → if((1𝑜 × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1𝑜 ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 ) = if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 ))
9493mpteq2dva 4896 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if((1𝑜 × {𝑥}) = (𝑏 ∈ 1𝑜 ↦ if(𝑏 = ∅, 𝐷, 0)), 𝐶, 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 )))
9512, 77, 943eqtrd 2798 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 𝐷, 𝐶, 0 )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  ifcif 4230  {csn 4321   ↦ cmpt 4881   × cxp 5264   ∘ ccom 5270  Oncon0 5884  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  1𝑜c1o 7723   ↑𝑚 cmap 8025  0cc0 10148  ℕ0cn0 11504  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  .rcmulr 16164   ·𝑠 cvsca 16167  0gc0g 16322  .gcmg 17761  mulGrpcmgp 18709  1rcur 18721  Ringcrg 18767   mVar cmvr 19574   mPoly cmpl 19575  PwSer1cps1 19767  var1cv1 19768  Poly1cpl1 19769  coe1cco1 19770 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-ofr 7064  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-hash 13332  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-tset 16182  df-ple 16183  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-ghm 17879  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-subrg 19000  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-psr 19578  df-mvr 19579  df-mpl 19580  df-opsr 19582  df-psr1 19772  df-vr1 19773  df-ply1 19774  df-coe1 19775 This theorem is referenced by:  coe1tmfv1  19866  coe1tmfv2  19867  coe1scl  19879  gsummoncoe1  19896  decpmatid  20797  monmatcollpw  20806  mp2pm2mplem4  20836
 Copyright terms: Public domain W3C validator