MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1tmmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1tmmul 19849
Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a term. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z 0 = (0g𝑅)
coe1tm.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1tm.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1tm.x 𝑋 = (var1𝑅)
coe1tm.m · = ( ·𝑠𝑃)
coe1tm.n 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1tm.e = (.g𝑁)
coe1tmmul.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1tmmul.t = (.r𝑃)
coe1tmmul.u × = (.r𝑅)
coe1tmmul.a (𝜑𝐴𝐵)
coe1tmmul.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
coe1tmmul.c (𝜑𝐶𝐾)
coe1tmmul.d (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
coe1tmmul (𝜑 → (coe1‘((𝐶 · (𝐷 𝑋)) 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, (𝐶 × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))), 0 )))
Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐾   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥, ×   𝑥,
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem coe1tmmul
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tmmul.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 coe1tmmul.c . . . 4 (𝜑𝐶𝐾)
3 coe1tmmul.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
4 coe1tm.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 coe1tm.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
6 coe1tm.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝑅)
7 coe1tm.m . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑃)
8 coe1tm.n . . . . 5 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
9 coe1tm.e . . . . 5 = (.g𝑁)
10 coe1tmmul.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10ply1tmcl 19844 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐷 𝑋)) ∈ 𝐵)
121, 2, 3, 11syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · (𝐷 𝑋)) ∈ 𝐵)
13 coe1tmmul.a . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
14 coe1tmmul.t . . . 4 = (.r𝑃)
15 coe1tmmul.u . . . 4 × = (.r𝑅)
165, 14, 15, 10coe1mul 19842 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 · (𝐷 𝑋)) ∈ 𝐵𝐴𝐵) → (coe1‘((𝐶 · (𝐷 𝑋)) 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦)))))))
171, 12, 13, 16syl3anc 1477 . 2 (𝜑 → (coe1‘((𝐶 · (𝐷 𝑋)) 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦)))))))
18 eqeq2 2771 . . . 4 ((𝐶 × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))) = if(𝐷𝑥, (𝐶 × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))), 0 ) → ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))))) = (𝐶 × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))) ↔ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))))) = if(𝐷𝑥, (𝐶 × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))), 0 )))
19 eqeq2 2771 . . . 4 ( 0 = if(𝐷𝑥, (𝐶 × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))), 0 ) → ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))))) = 0 ↔ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))))) = if(𝐷𝑥, (𝐶 × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))), 0 )))
20 coe1tm.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
211ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → 𝑅 ∈ Ring)
22 ringmnd 18756 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → 𝑅 ∈ Mnd)
24 ovexd 6843 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → (0...𝑥) ∈ V)
253ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → 𝐷 ∈ ℕ0)
26 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → 𝐷𝑥)
27 fznn0 12625 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∈ (0...𝑥) ↔ (𝐷 ∈ ℕ0𝐷𝑥)))
2827ad2antlr 765 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → (𝐷 ∈ (0...𝑥) ↔ (𝐷 ∈ ℕ0𝐷𝑥)))
2925, 26, 28mpbir2and 995 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → 𝐷 ∈ (0...𝑥))
301ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝑅 ∈ Ring)
31 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋))) = (coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))
3231, 10, 5, 4coe1f 19783 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 · (𝐷 𝑋)) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋))):ℕ0𝐾)
3312, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋))):ℕ0𝐾)
3433adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋))):ℕ0𝐾)
35 elfznn0 12626 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0...𝑥) → 𝑦 ∈ ℕ0)
36 ffvelrn 6520 . . . . . . . . . 10 (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋))):ℕ0𝐾𝑦 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) ∈ 𝐾)
3734, 35, 36syl2an 495 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) ∈ 𝐾)
38 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (coe1𝐴) = (coe1𝐴)
3938, 10, 5, 4coe1f 19783 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵 → (coe1𝐴):ℕ0𝐾)
4013, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (coe1𝐴):ℕ0𝐾)
4140adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (coe1𝐴):ℕ0𝐾)
42 fznn0sub 12566 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0...𝑥) → (𝑥𝑦) ∈ ℕ0)
43 ffvelrn 6520 . . . . . . . . . 10 (((coe1𝐴):ℕ0𝐾 ∧ (𝑥𝑦) ∈ ℕ0) → ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦)) ∈ 𝐾)
4441, 42, 43syl2an 495 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦)) ∈ 𝐾)
454, 15ringcl 18761 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) ∈ 𝐾 ∧ ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦)) ∈ 𝐾) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))) ∈ 𝐾)
4630, 37, 44, 45syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))) ∈ 𝐾)
47 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))))
4846, 47fmptd 6548 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦)))):(0...𝑥)⟶𝐾)
4948adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦)))):(0...𝑥)⟶𝐾)
501ad3antrrr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → 𝑅 ∈ Ring)
512ad3antrrr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → 𝐶𝐾)
523ad3antrrr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → 𝐷 ∈ ℕ0)
53 eldifi 3875 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷}) → 𝑦 ∈ (0...𝑥))
5453, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷}) → 𝑦 ∈ ℕ0)
5554adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → 𝑦 ∈ ℕ0)
56 eldifsni 4466 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷}) → 𝑦𝐷)
5756necomd 2987 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷}) → 𝐷𝑦)
5857adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → 𝐷𝑦)
5920, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 50, 51, 52, 55, 58coe1tmfv2 19847 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) = 0 )
6059oveq1d 6828 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))) = ( 0 × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))))
614, 15, 20ringlz 18787 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦)) ∈ 𝐾) → ( 0 × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))) = 0 )
6230, 44, 61syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → ( 0 × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))) = 0 )
6353, 62sylan2 492 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → ( 0 × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))) = 0 )
6463adantlr 753 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → ( 0 × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))) = 0 )
6560, 64eqtrd 2794 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))) = 0 )
6665, 24suppss2 7498 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → ((𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦)))) supp 0 ) ⊆ {𝐷})
674, 20, 23, 24, 29, 49, 66gsumpt 18561 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))))) = ((𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))))‘𝐷))
68 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐷 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) = ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝐷))
69 oveq2 6821 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐷 → (𝑥𝑦) = (𝑥𝐷))
7069fveq2d 6356 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐷 → ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦)) = ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)))
7168, 70oveq12d 6831 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐷 → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))) = (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝐷) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))))
72 ovex 6841 . . . . . . . 8 (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝐷) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))) ∈ V
7371, 47, 72fvmpt 6444 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (0...𝑥) → ((𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))))‘𝐷) = (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝐷) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))))
7429, 73syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → ((𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))))‘𝐷) = (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝐷) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))))
7520, 4, 5, 6, 7, 8, 9coe1tmfv1 19846 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝐷 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝐷) = 𝐶)
761, 2, 3, 75syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝐷) = 𝐶)
7776ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝐷) = 𝐶)
7877oveq1d 6828 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝐷) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))) = (𝐶 × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))))
7974, 78eqtrd 2794 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → ((𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))))‘𝐷) = (𝐶 × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))))
8067, 79eqtrd 2794 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))))) = (𝐶 × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))))
811ad3antrrr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝑅 ∈ Ring)
822ad3antrrr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝐶𝐾)
833ad3antrrr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
8435adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
85 elfzle2 12538 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (0...𝑥) → 𝑦𝑥)
8685adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝑦𝑥)
87 breq1 4807 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 = 𝑦 → (𝐷𝑥𝑦𝑥))
8886, 87syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → (𝐷 = 𝑦𝐷𝑥))
8988necon3bd 2946 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → (¬ 𝐷𝑥𝐷𝑦))
9089imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) ∧ ¬ 𝐷𝑥) → 𝐷𝑦)
9190an32s 881 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝐷𝑦)
9220, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 81, 82, 83, 84, 91coe1tmfv2 19847 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) = 0 )
9392oveq1d 6828 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))) = ( 0 × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))))
9462adantlr 753 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → ( 0 × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))) = 0 )
9593, 94eqtrd 2794 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))) = 0 )
9695mpteq2dva 4896 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷𝑥) → (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ 0 ))
9796oveq2d 6829 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷𝑥) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ 0 )))
981, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
9998ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷𝑥) → 𝑅 ∈ Mnd)
100 ovexd 6843 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷𝑥) → (0...𝑥) ∈ V)
10120gsumz 17575 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (0...𝑥) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ 0 )) = 0 )
10299, 100, 101syl2anc 696 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷𝑥) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ 0 )) = 0 )
10397, 102eqtrd 2794 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷𝑥) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))))) = 0 )
10418, 19, 80, 103ifbothda 4267 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦))))) = if(𝐷𝑥, (𝐶 × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))), 0 ))
105104mpteq2dva 4896 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝑦)))))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, (𝐶 × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))), 0 )))
10617, 105eqtrd 2794 1 (𝜑 → (coe1‘((𝐶 · (𝐷 𝑋)) 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, (𝐶 × ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))), 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  Vcvv 3340  cdif 3712  ifcif 4230  {csn 4321   class class class wbr 4804  cmpt 4881  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  cle 10267  cmin 10458  0cn0 11484  ...cfz 12519  Basecbs 16059  .rcmulr 16144   ·𝑠 cvsca 16147  0gc0g 16302   Σg cgsu 16303  Mndcmnd 17495  .gcmg 17741  mulGrpcmgp 18689  Ringcrg 18747  var1cv1 19748  Poly1cpl1 19749  coe1cco1 19750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-tset 16162  df-ple 16163  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-subrg 18980  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-psr 19558  df-mvr 19559  df-mpl 19560  df-opsr 19562  df-psr1 19752  df-vr1 19753  df-ply1 19754  df-coe1 19755
This theorem is referenced by:  coe1pwmul  19851  coe1sclmul  19854
  Copyright terms: Public domain W3C validator