MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeeq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeeq2 23902
Description: Compute the coefficient function given a sum expression for the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrle.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
dgrle.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
dgrle.3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
dgrle.4 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
coeeq2 (𝜑 → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑘,𝑁   𝜑,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑧,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem coeeq2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrle.1 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 dgrle.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 simpll 789 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝜑)
4 simpr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
5 simplr 791 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6 nn0uz 11666 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
75, 6syl6eleq 2708 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
82nn0zd 11424 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
98ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 elfz5 12276 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
117, 9, 10syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
124, 11mpbird 247 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
13 dgrle.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
143, 12, 13syl2anc 692 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
15 0cnd 9977 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘𝑁) → 0 ∈ ℂ)
1614, 15ifclda 4092 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
17 eqid 2621 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))
1816, 17fmptd 6340 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)):ℕ0⟶ℂ)
19 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2017fvmpt2 6248 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))
2119, 16, 20syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))
2221neeq1d 2849 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 ↔ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) ≠ 0))
23 iffalse 4067 . . . . . . 7 𝑘𝑁 → if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) = 0)
2423necon1ai 2817 . . . . . 6 (if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) ≠ 0 → 𝑘𝑁)
2522, 24syl6bi 243 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
2625ralrimiva 2960 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
27 nfv 1840 . . . . 5 𝑚(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)
28 nffvmpt1 6156 . . . . . . 7 𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚)
29 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑘0
3028, 29nfne 2890 . . . . . 6 𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0
31 nfv 1840 . . . . . 6 𝑘 𝑚𝑁
3230, 31nfim 1822 . . . . 5 𝑘(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁)
33 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚))
3433neeq1d 2849 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0))
35 breq1 4616 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝑁𝑚𝑁))
3634, 35imbi12d 334 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → ((((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ↔ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁)))
3727, 32, 36cbvral 3155 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁))
3826, 37sylib 208 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁))
39 plyco0 23852 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)):ℕ0⟶ℂ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁)))
402, 18, 39syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁)))
4138, 40mpbird 247 . 2 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
42 dgrle.4 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))))
43 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑚(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘))
44 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑘 ·
45 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑘(𝑧𝑚)
4628, 44, 45nfov 6630 . . . . . 6 𝑘(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚))
47 oveq2 6612 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (𝑧𝑘) = (𝑧𝑚))
4833, 47oveq12d 6622 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚)))
4943, 46, 48cbvsumi 14361 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚))
50 elfznn0 12374 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5150adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
52 elfzle2 12287 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘𝑁)
5352adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘𝑁)
5453iftrued 4066 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) = 𝐴)
5513adantlr 750 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5654, 55eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
5751, 56, 20syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))
5857, 54eqtrd 2655 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 𝐴)
5958oveq1d 6619 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (𝐴 · (𝑧𝑘)))
6059sumeq2dv 14367 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘)))
6149, 60syl5eqr 2669 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘)))
6261mpteq2dva 4704 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))))
6342, 62eqtr4d 2658 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚))))
641, 2, 18, 41, 63coeeq 23887 1 (𝜑 → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  ifcif 4058  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cima 5077  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cle 10019  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  ...cfz 12268  cexp 12800  Σcsu 14350  Polycply 23844  coeffccoe 23846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-0p 23343  df-ply 23848  df-coe 23850
This theorem is referenced by:  dgrle  23903  aareccl  23985  elaa2lem  39757
  Copyright terms: Public domain W3C validator