MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeeulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeeulem 24199
Description: Lemma for coeeu 24200. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coeeu.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
coeeu.2 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ↑𝑚0))
coeeu.3 (𝜑𝐵 ∈ (ℂ ↑𝑚0))
coeeu.4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
coeeu.5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
coeeu.6 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
coeeu.7 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
coeeu.8 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
coeeu.9 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
coeeulem (𝜑𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐵   𝜑,𝑘,𝑧   𝐴,𝑘,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem coeeulem
Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3765 . . . 4 ℂ ⊆ ℂ
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
3 coeeu.4 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 coeeu.5 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
53, 4nn0addcld 11567 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
6 subcl 10492 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
76adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
8 coeeu.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ↑𝑚0))
9 cnex 10229 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
10 nn0ex 11510 . . . . . . . 8 0 ∈ V
119, 10elmap 8054 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℂ ↑𝑚0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
128, 11sylib 208 . . . . . 6 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
13 coeeu.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (ℂ ↑𝑚0))
149, 10elmap 8054 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℂ ↑𝑚0) ↔ 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
1513, 14sylib 208 . . . . . 6 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
1610a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
17 inidm 3965 . . . . . 6 (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
187, 12, 15, 16, 16, 17off 7078 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑓𝐵):ℕ0⟶ℂ)
199, 10elmap 8054 . . . . 5 ((𝐴𝑓𝐵) ∈ (ℂ ↑𝑚0) ↔ (𝐴𝑓𝐵):ℕ0⟶ℂ)
2018, 19sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑓𝐵) ∈ (ℂ ↑𝑚0))
21 0cn 10244 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
22 snssi 4484 . . . . . . 7 (0 ∈ ℂ → {0} ⊆ ℂ)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . 6 {0} ⊆ ℂ
24 ssequn2 3929 . . . . . 6 ({0} ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∪ {0}) = ℂ)
2523, 24mpbi 220 . . . . 5 (ℂ ∪ {0}) = ℂ
2625oveq1i 6824 . . . 4 ((ℂ ∪ {0}) ↑𝑚0) = (ℂ ↑𝑚0)
2720, 26syl6eleqr 2850 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑓𝐵) ∈ ((ℂ ∪ {0}) ↑𝑚0))
285nn0red 11564 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
29 nn0re 11513 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
30 ltnle 10329 . . . . . . . 8 (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝑁) < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
3128, 29, 30syl2an 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
32 ffn 6206 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴:ℕ0⟶ℂ → 𝐴 Fn ℕ0)
3312, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 Fn ℕ0)
34 ffn 6206 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵:ℕ0⟶ℂ → 𝐵 Fn ℕ0)
3515, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 Fn ℕ0)
36 eqidd 2761 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑘))
37 eqidd 2761 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑘))
3833, 35, 16, 16, 17, 36, 37ofval 7072 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) − (𝐵𝑘)))
3938adantrr 755 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) − (𝐵𝑘)))
403nn0red 11564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4140adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4228adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
4329adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
4443adantrr 755 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
453nn0cnd 11565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
464nn0cnd 11565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
4745, 46addcomd 10450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀))
48 nn0uz 11935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 = (ℤ‘0)
494, 48syl6eleq 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
503nn0zd 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
51 eluzadd 11928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀)))
5249, 50, 51syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀)))
5347, 52eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀)))
5445addid2d 10449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (0 + 𝑀) = 𝑀)
5554fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℤ‘(0 + 𝑀)) = (ℤ𝑀))
5653, 55eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
57 eluzle 11912 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁))
5958adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁))
60 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)
6141, 42, 44, 59, 60lelttrd 10407 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑀 < 𝑘)
6241, 44ltnled 10396 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝑀 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘𝑀))
6361, 62mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ¬ 𝑘𝑀)
64 coeeu.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
65 plyco0 24167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑀)))
663, 12, 65syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑀)))
6764, 66mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑀))
6867r19.21bi 3070 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑀))
6968adantrr 755 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑀))
7069necon1bd 2950 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (¬ 𝑘𝑀 → (𝐴𝑘) = 0))
7163, 70mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝐴𝑘) = 0)
724nn0red 11564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
7372adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑁 ∈ ℝ)
743, 48syl6eleq 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
754nn0zd 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
76 eluzadd 11928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑁)))
7774, 75, 76syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑁)))
7846addid2d 10449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (0 + 𝑁) = 𝑁)
7978fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℤ‘(0 + 𝑁)) = (ℤ𝑁))
8077, 79eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑁))
81 eluzle 11912 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))
8382adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))
8473, 42, 44, 83, 60lelttrd 10407 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → 𝑁 < 𝑘)
8573, 44ltnled 10396 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝑁 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘𝑁))
8684, 85mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ¬ 𝑘𝑁)
87 coeeu.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
88 plyco0 24167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐵:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
894, 15, 88syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
9087, 89mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐵𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
9190r19.21bi 3070 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
9291adantrr 755 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐵𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
9392necon1bd 2950 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (¬ 𝑘𝑁 → (𝐵𝑘) = 0))
9486, 93mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → (𝐵𝑘) = 0)
9571, 94oveq12d 6832 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐴𝑘) − (𝐵𝑘)) = (0 − 0))
96 0m0e0 11342 . . . . . . . . . 10 (0 − 0) = 0
9795, 96syl6eq 2810 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐴𝑘) − (𝐵𝑘)) = 0)
9839, 97eqtrd 2794 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) < 𝑘)) → ((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) = 0)
9998expr 644 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) < 𝑘 → ((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) = 0))
10031, 99sylbird 250 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁) → ((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) = 0))
101100necon1ad 2949 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
102101ralrimiva 3104 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
103 plyco0 24167 . . . . 5 (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑓𝐵):ℕ0⟶ℂ) → (((𝐴𝑓𝐵) “ (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁))))
1045, 18, 103syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴𝑓𝐵) “ (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ (𝑀 + 𝑁))))
105102, 104mpbird 247 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑓𝐵) “ (ℤ‘((𝑀 + 𝑁) + 1))) = {0})
106 df-0p 23656 . . . . 5 0𝑝 = (ℂ × {0})
107 fconstmpt 5320 . . . . 5 (ℂ × {0}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0)
108106, 107eqtri 2782 . . . 4 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0)
109 elfznn0 12646 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11038adantlr 753 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) − (𝐵𝑘)))
111110oveq1d 6829 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) − (𝐵𝑘)) · (𝑧𝑘)))
11212adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
113112ffvelrnda 6523 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
11415adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
115114ffvelrnda 6523 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
116 expcl 13092 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
117116adantll 752 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
118113, 115, 117subdird 10699 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) − (𝐵𝑘)) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) − ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
119111, 118eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) − ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
120109, 119sylan2 492 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) − ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
121120sumeq2dv 14652 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) − ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
122 fzfid 12986 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin)
123113, 117mulcld 10272 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
124109, 123sylan2 492 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
125115, 117mulcld 10272 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
126109, 125sylan2 492 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
127122, 124, 126fsumsub 14739 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) − ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
128122, 124fsumcl 14683 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
129 coeeu.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
130 coeeu.9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
131129, 130eqtr3d 2796 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
132131fveq1d 6355 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧))
133132adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧))
134 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
135 sumex 14637 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V
136 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
137136fvmpt2 6454 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
138134, 135, 137sylancl 697 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
139 fzss2 12594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑀) → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
14056, 139syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
141140adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
142141sselda 3744 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
143142, 124syldan 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
144 eldifn 3876 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
145144adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
146 eldifi 3875 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
147146, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
148 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
149148, 48syl6eleq 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
15050adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
151 elfz5 12547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑘𝑀))
152149, 150, 151syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↔ 𝑘𝑀))
15368, 152sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑀)))
154153adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑀)))
155154necon1bd 2950 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀) → (𝐴𝑘) = 0))
156147, 155sylan2 492 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀) → (𝐴𝑘) = 0))
157145, 156mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) = 0)
158157oveq1d 6829 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = (0 · (𝑧𝑘)))
159134, 147, 116syl2an 495 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
160159mul02d 10446 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (0 · (𝑧𝑘)) = 0)
161158, 160eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
162141, 143, 161, 122fsumss 14675 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
163138, 162eqtrd 2794 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
164 sumex 14637 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V
165 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
166165fvmpt2 6454 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
167134, 164, 166sylancl 697 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
168 fzss2 12594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
16980, 168syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
170169adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
171170sselda 3744 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
172171, 126syldan 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
173 eldifn 3876 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
174173adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
175 eldifi 3875 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
176175, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17775adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
178 elfz5 12547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
179149, 177, 178syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
18091, 179sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
181180adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
182181necon1bd 2950 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝐵𝑘) = 0))
183176, 182sylan2 492 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝐵𝑘) = 0))
184174, 183mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑘) = 0)
185184oveq1d 6829 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = (0 · (𝑧𝑘)))
186134, 176, 116syl2an 495 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
187186mul02d 10446 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → (0 · (𝑧𝑘)) = 0)
188185, 187eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
189170, 172, 188, 122fsumss 14675 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
190167, 189eqtrd 2794 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑧) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
191133, 163, 1903eqtr3d 2802 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
192128, 191subeq0bd 10668 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))) = 0)
193121, 127, 1923eqtrrd 2799 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)))
194193mpteq2dva 4896 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
195108, 194syl5eq 2806 . . 3 (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(((𝐴𝑓𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
1962, 5, 27, 105, 195plyeq0 24186 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑓𝐵) = (ℕ0 × {0}))
197 ofsubeq0 11229 . . 3 ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝐵:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴𝑓𝐵) = (ℕ0 × {0}) ↔ 𝐴 = 𝐵))
19816, 12, 15, 197syl3anc 1477 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑓𝐵) = (ℕ0 × {0}) ↔ 𝐴 = 𝐵))
199196, 198mpbid 222 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  Vcvv 3340  cdif 3712  cun 3713  wss 3715  {csn 4321   class class class wbr 4804  cmpt 4881   × cxp 5264  cima 5269   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  𝑓 cof 7061  𝑚 cmap 8025  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478  0cn0 11504  cz 11589  cuz 11899  ...cfz 12539  cexp 13074  Σcsu 14635  0𝑝c0p 23655  Polycply 24159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-0p 23656
This theorem is referenced by:  coeeu  24200
  Copyright terms: Public domain W3C validator