MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coef3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coef3 23982
Description: The domain and range of the coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dgrval.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
coef3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)

Proof of Theorem coef3
StepHypRef Expression
1 plyssc 23950 . . 3 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
21sseli 3597 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
3 0cn 10029 . 2 0 ∈ ℂ
4 dgrval.1 . . 3 𝐴 = (coeff‘𝐹)
54coef2 23981 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
62, 3, 5sylancl 694 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1482  wcel 1989  wf 5882  cfv 5886  cc 9931  0cc0 9933  0cn0 11289  Polycply 23934  coeffccoe 23936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011  ax-addf 10012
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-of 6894  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-pm 7857  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-sup 8345  df-inf 8346  df-oi 8412  df-card 8762  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-rp 11830  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-fl 12588  df-seq 12797  df-exp 12856  df-hash 13113  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-clim 14213  df-rlim 14214  df-sum 14411  df-0p 23431  df-ply 23938  df-coe 23940
This theorem is referenced by:  dgrub  23984  dgrub2  23985  dgrlb  23986  coeidlem  23987  coeid3  23990  plyco  23991  dgrle  23993  0dgrb  23996  coefv0  23998  coeaddlem  23999  coemullem  24000  coemulhi  24004  coemulc  24005  coe0  24006  coesub  24007  plycn  24011  dgreq0  24015  dgradd2  24018  dgrmul  24020  dgrcolem2  24024  plycjlem  24026  coecj  24028  plymul0or  24030  dvply2g  24034  plydivlem4  24045  plydiveu  24047  vieta1lem2  24060  vieta1  24061  elqaalem3  24070  aareccl  24075  ftalem1  24793  ftalem2  24794  ftalem4  24796  ftalem5  24797  signsplypnf  30612  dgrsub2  37531  mpaaeu  37546
  Copyright terms: Public domain W3C validator