Theorem coefv0 24830

Description: The result of evaluating a polynomial at zero is the constant term. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
coefv0.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coefv0	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))

Proof of Theorem coefv0

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 10625	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		coefv0.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
3		eqid 2819	. . . 4 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
4	2, 3	coeid2 24821	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
5	1, 4	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
6		dgrcl 24815	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
7		nn0uz 12272	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
8	6, 7	eleqtrdi 2921	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0))
9		fzss2 12939	. . . 4 ⊢ ((deg‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘0) → (0...0) ⊆ (0...(deg‘𝐹)))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0...0) ⊆ (0...(deg‘𝐹)))
11		elfz1eq 12910	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...0) → 𝑘 = 0)
12		fveq2 6663	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘0))
13		oveq2 7156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = (0↑0))
14		0exp0e1 13426	. . . . . . . 8 ⊢ (0↑0) = 1
15	13, 14	syl6eq 2870	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = 1)
16	12, 15	oveq12d 7166	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
17	11, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...0) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
18	2	coef3 24814	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
19		0nn0 11904	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		ffvelrn 6842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
22	21	mulid1d 10650	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) = (𝐴‘0))
23	17, 22	sylan9eqr 2876	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = (𝐴‘0))
24	21	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
25	23, 24	eqeltrd 2911	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) ∈ ℂ)
26		eldifn 4102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...0))
27		eldifi 4101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)))
28		elfznn0 12992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
30		elnn0 11891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
31	29, 30	sylib 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
32	31	ord 860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 = 0))
33		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
34		0z 11984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
35		elfz3 12909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ (0...0))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0...0)
37	33, 36	syl6eqel 2919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0...0))
38	32, 37	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ (0...0)))
39	26, 38	mt3d 150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ ℕ)
40	39	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → 𝑘 ∈ ℕ)
41	40	0expd 13495	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → (0↑𝑘) = 0)
42	41	oveq2d 7164	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑘) · 0))
43		ffvelrn 6842	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
44	18, 29, 43	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
45	44	mul01d 10831	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴‘𝑘) · 0) = 0)
46	42, 45	eqtrd 2854	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = 0)
47		fzfid 13333	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
48	10, 25, 46, 47	fsumss 15074	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)))
49	22, 21	eqeltrd 2911	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) ∈ ℂ)
50	16	fsum1 15094	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ((𝐴‘0) · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
51	34, 49, 50	sylancr 589	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
52	51, 22	eqtrd 2854	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴‘𝑘) · (0↑𝑘)) = (𝐴‘0))
53	5, 48, 52	3eqtr2d 2860	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3931   ⊆ wss 3934  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534  ℕcn 11630  ℕ₀cn0 11889  ℤcz 11973  ℤ_≥cuz 12235  ...cfz 12884  ↑cexp 13421  Σcsu 15034  Polycply 24766  coeffccoe 24768  degcdgr 24769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-0p 24263  df-ply 24770  df-coe 24772  df-dgr 24773

This theorem is referenced by:  coemulc  24837  dgreq0  24847  vieta1lem2  24892  aareccl  24907  ftalem5  25646  signsply0  31814  elaa2  42509