MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeid3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeid3 23913
Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to at least the degree of the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
coeid3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑆,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋

Proof of Theorem coeid3
StepHypRef Expression
1 dgrub.1 . . . 4 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2 dgrub.2 . . . 4 𝑁 = (deg‘𝐹)
31, 2coeid2 23912 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))
433adant2 1078 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))
5 fzss2 12330 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
653ad2ant2 1081 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
7 elfznn0 12381 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
81coef3 23905 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
983ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
109ffvelrnda 6320 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
11 expcl 12825 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
12113ad2antl3 1223 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
1310, 12mulcld 10011 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)) ∈ ℂ)
147, 13sylan2 491 . . 3 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)) ∈ ℂ)
15 eldifn 3716 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
1615adantl 482 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
17 simpl1 1062 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
18 eldifi 3715 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
19 elfzuz 12287 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
2120adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
22 nn0uz 11673 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
2321, 22syl6eleqr 2709 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
241, 2dgrub 23907 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘𝑁)
25243expia 1264 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
2617, 23, 25syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
27 simpl2 1063 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
28 eluzel2 11643 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
30 elfz5 12283 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
3121, 29, 30syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
3226, 31sylibrd 249 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
3332necon1bd 2808 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝐴𝑘) = 0))
3416, 33mpd 15 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝐴𝑘) = 0)
3534oveq1d 6625 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)) = (0 · (𝑋𝑘)))
36 elfznn0 12381 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3718, 36syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3837, 12sylan2 491 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
3938mul02d 10185 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (0 · (𝑋𝑘)) = 0)
4035, 39eqtrd 2655 . . 3 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)) = 0)
41 fzfid 12719 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ∈ Fin)
426, 14, 40, 41fsumss 14396 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))
434, 42eqtrd 2655 1 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑋𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3556  wss 3559   class class class wbr 4618  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9885  0cc0 9887   · cmul 9892  cle 10026  0cn0 11243  cz 11328  cuz 11638  ...cfz 12275  cexp 12807  Σcsu 14357  Polycply 23857  coeffccoe 23859  degcdgr 23860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-0p 23356  df-ply 23861  df-coe 23863  df-dgr 23864
This theorem is referenced by:  dvply2g  23957  aannenlem1  24000
  Copyright terms: Public domain W3C validator