Theorem coeq1 5722

Description: Equality theorem for composition of two classes. (Contributed by NM, 3-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
coeq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∘ 𝐶) = (𝐵 ∘ 𝐶))

Proof of Theorem coeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coss1 5720	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∘ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∘ 𝐶))
2		coss1 5720	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ∘ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∘ 𝐶))
3	1, 2	anim12i 614	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∘ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∘ 𝐶) ∧ (𝐵 ∘ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∘ 𝐶)))
4		eqss 3981	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
5		eqss 3981	. 2 ⊢ ((𝐴 ∘ 𝐶) = (𝐵 ∘ 𝐶) ↔ ((𝐴 ∘ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∘ 𝐶) ∧ (𝐵 ∘ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∘ 𝐶)))
6	3, 4, 5	3imtr4i 294	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∘ 𝐶) = (𝐵 ∘ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ⊆ wss 3935   ∘ ccom 5553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-in 3942  df-ss 3951  df-br 5059  df-opab 5121  df-co 5558

This theorem is referenced by:  coeq1i  5724  coeq1d  5726  coi2  6110  funcoeqres  6639  ereq1  8290  domssex2  8671  wemapwe  9154  updjud  9357  seqf1olem2  13404  seqf1o  13405  relexpsucnnl  14385  isps  17806  pwsco1mhm  17990  frmdup3  18026  efmndov  18040  symggrplem  18043  smndex1mndlem  18068  smndex1mnd  18069  pmtr3ncom  18597  psgnunilem1  18615  frgpup3  18898  gsumval3  19021  evlseu  20290  evlsval2  20294  selvval  20325  evls1val  20477  evls1sca  20480  evl1val  20486  mpfpf1  20508  pf1mpf  20509  pf1ind  20512  frgpcyg  20714  frlmup4  20939  xkococnlem  22261  xkococn  22262  cnmpt1k  22284  cnmptkk  22285  xkofvcn  22286  qtopeu  22318  qtophmeo  22419  utop2nei  22853  cncombf  24253  dgrcolem2  24858  dgrco  24859  motplusg  26322  hocsubdir  29556  hoddi  29761  opsqrlem1  29911  smatfval  31055  msubco  32773  coideq  35501  trljco  37870  tgrpov  37878  tendovalco  37895  erngmul  37936  erngmul-rN  37944  cdlemksv  37974  cdlemkuu  38025  cdlemk41  38050  cdleml5N  38110  cdleml9  38114  dvamulr  38142  dvavadd  38145  dvhmulr  38216  dvhvscacbv  38228  dvhvscaval  38229  dih1dimatlem0  38458  dihjatcclem4  38551  diophrw  39349  eldioph2  39352  diophren  39403  mendmulr  39781  fundcmpsurinjpreimafv  43562  rngcinv  44246  rngcinvALTV  44258  ringcinv  44297  ringcinvALTV  44321