MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeq1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeq1d 5316
Description: Equality deduction for composition of two classes. (Contributed by NM, 16-Nov-2000.)
Hypothesis
Ref Expression
coeq1d.1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
coeq1d (𝜑 → (𝐴𝐶) = (𝐵𝐶))

Proof of Theorem coeq1d
StepHypRef Expression
1 coeq1d.1 . 2 (𝜑𝐴 = 𝐵)
2 coeq1 5312 . 2 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐶) = (𝐵𝐶))
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴𝐶) = (𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  ccom 5147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-in 3614  df-ss 3621  df-br 4686  df-opab 4746  df-co 5152
This theorem is referenced by:  coeq12d  5319  fcof1oinvd  6588  domss2  8160  mapen  8165  mapfien  8354  hashfacen  13276  relexpsucnnr  13809  relexpsucr  13813  relexpsucnnl  13816  relexpaddnn  13835  imasval  16218  cofuass  16596  cofulid  16597  setcinv  16787  catcisolem  16803  catciso  16804  yonedalem3b  16966  gsumvalx  17317  frmdup3lem  17450  symggrp  17866  f1omvdco2  17914  symggen  17936  psgnunilem1  17959  gsumval3  18354  gsumzf1o  18359  psrass1lem  19425  coe1add  19682  evls1fval  19732  evl1sca  19746  evl1var  19748  evls1var  19750  pf1mpf  19764  pf1ind  19767  znval  19931  znle2  19950  tchds  23076  dvnfval  23730  hocsubdir  28772  fcoinver  29544  fcobij  29628  symgfcoeu  29973  reprpmtf1o  30832  hgt750lemg  30860  subfacp1lem5  31292  mrsubffval  31530  mrsubfval  31531  mrsubrn  31536  elmrsubrn  31543  upixp  33654  ltrncoidN  35732  trlcoat  36328  trlcone  36333  cdlemg47a  36339  cdlemg47  36341  ltrnco4  36344  tendovalco  36370  tendoplcbv  36380  tendopl  36381  tendoplass  36388  tendo0pl  36396  tendoipl  36402  cdlemk45  36552  cdlemk53b  36561  cdlemk55a  36564  erngdvlem3  36595  erngdvlem3-rN  36603  tendocnv  36627  dvhvaddcbv  36695  dvhvaddval  36696  dvhvaddass  36703  dicvscacl  36797  cdlemn8  36810  dihordlem7b  36821  dihopelvalcpre  36854  relexp2  38286  relexpxpnnidm  38312  relexpiidm  38313  relexpmulnn  38318  relexpaddss  38327  trclfvcom  38332  trclfvdecomr  38337  frege131d  38373  dssmap2d  38633
  Copyright terms: Public domain W3C validator