Theorem coex 7629

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 15-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
coex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
coex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
coex	⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem coex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		coex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		coexg 7628	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 690	1 ⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2110  Vcvv 3495   ∘ ccom 5554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561

This theorem is referenced by:  domtr  8556  enfixsn  8620  wdomtr  9033  cfcoflem  9688  axcc3  9854  axdc4uzlem  13345  hashfacen  13806  cofu1st  17147  cofu2nd  17149  cofucl  17152  fucid  17235  sursubmefmnd  18055  injsubmefmnd  18056  smndex1mgm  18066  gsumzaddlem  19035  selvval  20325  evls1fval  20476  evls1val  20477  evl1fval  20485  evl1val  20486  cnfldfun  20551  cnfldfunALT  20552  znle  20677  xkococnlem  22261  xkococn  22262  efmndtmd  22703  pserulm  25004  imsval  28456  tocycf  30754  eulerpartgbij  31625  derangenlem  32413  subfacp1lem5  32426  poimirlem9  34895  poimirlem15  34901  poimirlem17  34903  poimirlem20  34906  mbfresfi  34932  tendopl2  37907  erngplus2  37934  erngplus2-rN  37942  dvaplusgv  38140  dvhvaddass  38227  dvhlveclem  38238  diblss  38300  diblsmopel  38301  dicvaddcl  38320  dicvscacl  38321  cdlemn7  38333  dihordlem7  38344  dihopelvalcpre  38378  xihopellsmN  38384  dihopellsm  38385  rabren3dioph  39405  fzisoeu  41559  stirlinglem14  42365  fundcmpsurinjpreimafv  43561  isomushgr  43984  isomgrtr  43997