Theorem coex 6989

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 15-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
coex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
coex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
coex	⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem coex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		coex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		coexg 6988	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 703	1 ⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 1976  Vcvv 3172   ∘ ccom 5032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039

This theorem is referenced by:  domtr  7873  enfixsn  7932  wdomtr  8341  cfcoflem  8955  axcc3  9121  axdc4uzlem  12602  hashfacen  13050  cofu1st  16315  cofu2nd  16317  cofucl  16320  fucid  16403  symgplusg  17581  gsumzaddlem  18093  evls1fval  19454  evls1val  19455  evl1fval  19462  evl1val  19463  znle  19651  xkococnlem  21220  xkococn  21221  symgtgp  21663  pserulm  23925  imsval  26749  eulerpartgbij  29595  derangenlem  30241  subfacp1lem5  30254  poimirlem9  32412  poimirlem15  32418  poimirlem17  32420  poimirlem20  32423  mbfresfi  32450  tendopl2  34907  erngplus2  34934  erngplus2-rN  34942  dvaplusgv  35140  dvhvaddass  35228  dvhlveclem  35239  diblss  35301  diblsmopel  35302  dicvaddcl  35321  dicvscacl  35322  cdlemn7  35334  dihordlem7  35345  dihopelvalcpre  35379  xihopellsmN  35385  dihopellsm  35386  rabren3dioph  36221  fzisoeu  38279  stirlinglem14  38804