MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coexg 7067
Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
coexg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem coexg
StepHypRef Expression
1 cossxp 5619 . 2 (𝐴𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴)
2 dmexg 7047 . . 3 (𝐵𝑊 → dom 𝐵 ∈ V)
3 rnexg 7048 . . 3 (𝐴𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
4 xpexg 6916 . . 3 ((dom 𝐵 ∈ V ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
52, 3, 4syl2anr 495 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
6 ssexg 4766 . 2 (((𝐴𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∧ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V) → (𝐴𝐵) ∈ V)
71, 5, 6sylancr 694 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  Vcvv 3186  wss 3556   × cxp 5074  dom cdm 5076  ran crn 5077  ccom 5080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-br 4616  df-opab 4676  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087
This theorem is referenced by:  coex  7068  supp0cosupp0  7282  imacosupp  7283  fsuppco2  8255  fsuppcor  8256  mapfienlem2  8258  wemapwe  8541  cofsmo  9038  relexpsucnnr  13702  supcvg  14516  imasle  16107  setcco  16657  estrcco  16694  pwsco1mhm  17294  pwsco2mhm  17295  symgov  17734  symgcl  17735  gsumval3lem2  18231  gsumzf1o  18237  evls1sca  19610  f1lindf  20083  tngds  22365  climcncf  22616  motplusg  25344  smatfval  29655  eulerpartlemmf  30230  tgrpov  35537  erngmul  35595  erngmul-rN  35603  dvamulr  35801  dvavadd  35804  dvhmulr  35876  mendmulr  37260  relexp0a  37510  choicefi  38884  climexp  39259  dvsinax  39449  stoweidlem27  39567  stoweidlem31  39571  stoweidlem59  39599  uspgrbisymrelALT  41067  rngccoALTV  41292  ringccoALTV  41355
  Copyright terms: Public domain W3C validator