Theorem coexg 7628

Description: The composition of two sets is a set. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
coexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem coexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cossxp 6117	. 2 ⊢ (𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴)
2		dmexg 7607	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → dom 𝐵 ∈ V)
3		rnexg 7608	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
4		xpexg 7467	. . 3 ⊢ ((dom 𝐵 ∈ V ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
5	2, 3, 4	syl2anr 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V)
6		ssexg 5219	. 2 ⊢ (((𝐴 ∘ 𝐵) ⊆ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∧ (dom 𝐵 × ran 𝐴) ∈ V) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 589	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∘ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935   × cxp 5547  dom cdm 5549  ran crn 5550   ∘ ccom 5553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560

This theorem is referenced by:  coex  7629  suppco  7864  supp0cosupp0OLD  7867  imacosuppOLD  7869  fsuppco2  8860  fsuppcor  8861  mapfienlem2  8863  wemapwe  9154  cofsmo  9685  relexpsucnnr  14378  supcvg  15205  imasle  16790  setcco  17337  estrcco  17374  pwsco1mhm  17990  pwsco2mhm  17991  efmndov  18040  efmndcl  18041  symgov  18506  symgcl  18507  gsumval3lem2  19020  gsumzf1o  19026  evls1sca  20480  f1lindf  20960  tngds  23251  climcncf  23502  motplusg  26322  tocycfv  30746  smatfval  31055  eulerpartlemmf  31628  hgt750lemg  31920  cossex  35658  tgrpov  37878  erngmul  37936  erngmul-rN  37944  dvamulr  38142  dvavadd  38145  dvhmulr  38216  mendmulr  39781  relexp0a  40054  choicefi  41456  climexp  41879  dvsinax  42190  stoweidlem27  42306  stoweidlem31  42310  stoweidlem59  42338  uspgrbisymrelALT  44024  rngccoALTV  44253  ringccoALTV  44316