Theorem coinflippv 30326

Description: The probability of heads is one-half. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
coinflip.h	⊢ 𝐻 ∈ V
coinflip.t	⊢ 𝑇 ∈ V
coinflip.th	⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
coinflip.2	⊢ 𝑃 = ((# ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2)
coinflip.3	⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}

Assertion

Ref	Expression
coinflippv	⊢ (𝑃‘{𝐻}) = (1 / 2)

Proof of Theorem coinflippv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coinflip.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((# ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2)
2	1	fveq1i 6149	. 2 ⊢ (𝑃‘{𝐻}) = (((# ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2)‘{𝐻})
3		snsspr1 4313	. . 3 ⊢ {𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇}
4		prex 4870	. . . . 5 ⊢ {𝐻, 𝑇} ∈ V
5	4	elpw2 4788	. . . 4 ⊢ ({𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↔ {𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇})
6	5	biimpri 218	. . 3 ⊢ ({𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇} → {𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
7		fveq2 6148	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝐻} → (#‘𝑥) = (#‘{𝐻}))
8		coinflip.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ V
9		hashsng 13099	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ V → (#‘{𝐻}) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (#‘{𝐻}) = 1
11	7, 10	syl6eq 2671	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {𝐻} → (#‘𝑥) = 1)
12	11	oveq1d 6619	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝐻} → ((#‘𝑥) / 2) = (1 / 2))
13	4	pwex 4808	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V)
15		2nn0 11253	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ V → 2 ∈ ℕ0)
17		prfi 8179	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐻, 𝑇} ∈ Fin
18		elpwi 4140	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇})
19		ssfi 8124	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝐻, 𝑇} ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
20	17, 18, 19	sylancr 694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → 𝑥 ∈ Fin)
21	20	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
22		hashcl 13087	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (#‘𝑥) ∈ ℕ0)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → (#‘𝑥) ∈ ℕ0)
24		hashf 13065	. . . . . . . 8 ⊢ #:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ V → #:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
26		ssv 3604	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ⊆ V
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ⊆ V)
28	25, 27	feqresmpt 6207	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ V → (# ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ (#‘𝑥)))
29	14, 16, 23, 28	ofcfval2 29947	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ V → ((# ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ ((#‘𝑥) / 2)))
30	8, 29	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((# ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ ((#‘𝑥) / 2))
31		ovex 6632	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ V
32	12, 30, 31	fvmpt 6239	. . 3 ⊢ ({𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → (((# ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2)‘{𝐻}) = (1 / 2))
33	3, 6, 32	mp2b 10	. 2 ⊢ (((# ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇})∘𝑓/𝑐 / 2)‘{𝐻}) = (1 / 2)
34	2, 33	eqtri 2643	1 ⊢ (𝑃‘{𝐻}) = (1 / 2)

Syntax hints:   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  Vcvv 3186   ∪ cun 3553   ⊆ wss 3555  𝒫 cpw 4130  {csn 4148  {cpr 4150  ⟨cop 4154   ↦ cmpt 4673   ↾ cres 5076  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  0cc0 9880  1c1 9881  +∞cpnf 10015   / cdiv 10628  2c2 11014  ℕ₀cn0 11236  #chash 13057  ∘_𝑓/𝑐cofc 29938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058  df-ofc 29939

This theorem is referenced by:  coinflippvt  30327