MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colhp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colhp 25596
Description: Half-plane relation for colinear points. Theorem 9.19 of [Schwabhauser] p. 73. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a (𝜑𝐴𝑃)
hpgid.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
colopp.b (𝜑𝐵𝑃)
colopp.p (𝜑𝐶𝐷)
colopp.1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
colhp.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
colhp (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐷)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝑡,𝐶   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑡,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem colhp
StepHypRef Expression
1 ancom 466 . . 3 ((𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ↔ (¬ 𝐴𝐷𝐴(𝐾𝐶)𝐵))
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ↔ (¬ 𝐴𝐷𝐴(𝐾𝐶)𝐵)))
3 hpgid.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 hpgid.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 hpgid.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 hpgid.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 hpgid.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
98adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
10 colopp.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
1110adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐵𝑃)
12 hpgid.o . . . . 5 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
13 eqid 2621 . . . . . . 7 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
14 eqid 2621 . . . . . . 7 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
15 colopp.p . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝐷)
163, 5, 4, 6, 8, 15tglnpt 25378 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
17 eqid 2621 . . . . . . 7 ((pInvG‘𝐺)‘𝐶) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐶)
18 hpgid.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑃)
193, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18mircl 25490 . . . . . 6 (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
2019adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
2115adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶𝐷)
2216adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶𝑃)
2318adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐴𝑃)
24 nelne2 2887 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶𝐴)
2515, 24sylan 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶𝐴)
2625necomd 2845 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐴𝐶)
2726neneqd 2795 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ¬ 𝐴 = 𝐶)
28 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ¬ 𝐴𝐷)
293, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18mirmir 25491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) = 𝐴)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) = 𝐴)
316adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
328adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
3315adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐶𝐷)
34 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)
353, 13, 4, 5, 14, 31, 17, 32, 33, 34mirln 25505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∈ 𝐷)
3630, 35eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) → 𝐴𝐷)
3736stoic1a 1694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)
38 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 = 𝐶) → 𝑡 = 𝐶)
39 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 = 𝐶) → (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) = (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
4038, 39eleq12d 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 = 𝐶) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))))
413, 13, 4, 5, 14, 6, 16, 17, 18mirbtwn 25487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐶 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)𝐼𝐴))
423, 13, 4, 6, 19, 16, 18, 41tgbtwncom 25317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
4315, 40, 42rspcedvd 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
4528, 37, 44jca31 556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))))
463, 13, 4, 12, 23, 20islnopp 25565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐴𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))))
4745, 46mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐴𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))
483, 13, 4, 12, 5, 9, 7, 23, 20, 47oppne3 25569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐴 ≠ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴))
4942adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
503, 4, 5, 7, 23, 20, 22, 48, 49btwnlng1 25448 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
5150orcd 407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∨ 𝐴 = (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
523, 5, 4, 7, 23, 20, 22, 51colcom 25387 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐶 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)𝐿𝐴) ∨ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) = 𝐴))
533, 5, 4, 7, 20, 23, 22, 52colrot1 25388 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ (𝐴𝐿𝐶) ∨ 𝐴 = 𝐶))
5453orcomd 403 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐴 = 𝐶 ∨ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ (𝐴𝐿𝐶)))
5554ord 392 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (¬ 𝐴 = 𝐶 → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ (𝐴𝐿𝐶)))
5627, 55mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ (𝐴𝐿𝐶))
57 colopp.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
583, 5, 4, 6, 18, 10, 16, 57colrot1 25388 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
593, 5, 4, 6, 10, 16, 18, 58colcom 25387 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
6059adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
613, 4, 5, 7, 20, 23, 22, 11, 56, 60coltr 25476 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ (𝐶𝐿𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐵))
623, 5, 4, 7, 22, 11, 20, 61colrot1 25388 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∨ 𝐵 = (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
633, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 20, 21, 62colopp 25595 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐵𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ↔ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)))
643, 4, 5, 12, 7, 9, 23, 11, 20, 47lnopp2hpgb 25589 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐵𝑂(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
65 colhp.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (hlG‘𝐺)
66 simpll 789 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝜑)
6766, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐵𝑃)
6866, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐴𝑃)
6966, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐶𝑃)
7066, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7166, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐶𝐷)
72 simprr 795 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → ¬ 𝐵𝐷)
73 nelne2 2887 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) → 𝐶𝐵)
7473necomd 2845 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) → 𝐵𝐶)
7571, 72, 74syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐵𝐶)
7626adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐴𝐶)
77 simprl 793 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
783, 13, 4, 5, 14, 70, 17, 65, 69, 67, 68, 68, 75, 76, 77mirhl2 25510 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐵(𝐾𝐶)𝐴)
793, 4, 65, 67, 68, 69, 70, 78hlcomd 25433 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → 𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
8028adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → ¬ 𝐴𝐷)
8179, 80jca 554 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐷))
82813adantr3 1220 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)) → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐷))
8382simpld 475 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)) → 𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
8423adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐴𝑃)
8511adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐵𝑃)
8620adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝑃)
877adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8816ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐶𝑃)
89 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
9042ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
913, 4, 65, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90btwnhl 25443 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)))
923, 4, 65, 84, 85, 88, 87, 5, 89hlln 25436 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
9392adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
9487adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9585adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐵𝑃)
9688adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐶𝑃)
9784adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐴𝑃)
9889adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
993, 4, 65, 97, 95, 96, 94, 98hlne2 25435 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐵𝐶)
1009ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
101 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐵𝐷)
10215ad3antrrr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐶𝐷)
1033, 4, 5, 94, 95, 96, 99, 99, 100, 101, 102tglinethru 25465 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐷 = (𝐵𝐿𝐶))
10493, 103eleqtrrd 2701 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → 𝐴𝐷)
10528ad2antrr 761 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) ∧ 𝐵𝐷) → ¬ 𝐴𝐷)
106104, 105pm2.65da 599 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → ¬ 𝐵𝐷)
10737adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷)
10891, 106, 1073jca 1240 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷))
10983, 108impbida 876 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ((𝐶 ∈ (𝐵𝐼(((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴)) ∧ ¬ 𝐵𝐷 ∧ ¬ (((pInvG‘𝐺)‘𝐶)‘𝐴) ∈ 𝐷) ↔ 𝐴(𝐾𝐶)𝐵))
11063, 64, 1093bitr3d 298 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵𝐴(𝐾𝐶)𝐵))
111110pm5.32da 672 . 2 (𝜑 → ((¬ 𝐴𝐷𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ↔ (¬ 𝐴𝐷𝐴(𝐾𝐶)𝐵)))
112 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
113112adantrl 751 . . 3 ((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)) → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
1146adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1158adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
11618adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐴𝑃)
11710adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → 𝐵𝑃)
1183, 4, 5, 12, 114, 115, 116, 117, 112hpgne1 25587 . . . 4 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → ¬ 𝐴𝐷)
119118, 112jca 554 . . 3 ((𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) → (¬ 𝐴𝐷𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
120113, 119impbida 876 . 2 (𝜑 → ((¬ 𝐴𝐷𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵) ↔ 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵))
1212, 111, 1203bitr2rd 297 1 (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2909  cdif 3557   class class class wbr 4623  {copab 4682  ran crn 5085  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  distcds 15890  TarskiGcstrkg 25263  Itvcitv 25269  LineGclng 25270  hlGchlg 25429  pInvGcmir 25481  hpGchpg 25583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-hash 13074  df-word 13254  df-concat 13256  df-s1 13257  df-s2 13546  df-s3 13547  df-trkgc 25281  df-trkgb 25282  df-trkgcb 25283  df-trkgld 25285  df-trkg 25286  df-cgrg 25340  df-leg 25412  df-hlg 25430  df-mir 25482  df-rag 25523  df-perpg 25525  df-hpg 25584
This theorem is referenced by:  hphl  25597  trgcopy  25630
  Copyright terms: Public domain W3C validator