Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  colinbtwnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colinbtwnle 33476
Description: Given three colinear points 𝐴, 𝐵, and 𝐶, 𝐵 falls in the middle iff the two segments to 𝐵 are no longer than 𝐴𝐶. Theorem 5.12 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Scott Fenton, 15-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
colinbtwnle ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Colinear ⟨𝐵, 𝐶⟩ → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩))))

Proof of Theorem colinbtwnle
StepHypRef Expression
1 btwnsegle 33475 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ → ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩))
2 3anrev 1093 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)))
3 btwnsegle 33475 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ → ⟨𝐶, 𝐵⟩ Seg𝐶, 𝐴⟩))
42, 3sylan2b 593 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ → ⟨𝐶, 𝐵⟩ Seg𝐶, 𝐴⟩))
5 3ancoma 1090 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
6 btwncom 33372 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ 𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩))
75, 6sylan2b 593 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ 𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩))
8 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
9 simpr2 1187 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
10 simpr3 1188 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
118, 9, 10cgrrflx2d 33342 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩)
12 simpr1 1186 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
138, 12, 10cgrrflx2d 33342 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐴⟩)
14 seglecgr12 33469 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐴⟩) → (⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝐵⟩ Seg𝐶, 𝐴⟩)))
158, 9, 10, 12, 10, 10, 9, 10, 12, 14syl333anc 1394 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩Cgr⟨𝐶, 𝐴⟩) → (⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝐵⟩ Seg𝐶, 𝐴⟩)))
1611, 13, 15mp2and 695 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝐶, 𝐵⟩ Seg𝐶, 𝐴⟩))
174, 7, 163imtr4d 295 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ → ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩))
181, 17jcad 513 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩)))
1918adantr 481 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐴 Colinear ⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩)))
20 brcolinear 33417 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Colinear ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)))
21 simprl 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩)) → 𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)
228, 12, 9, 10, 21btwncomand 33373 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩)) → 𝐴 Btwn ⟨𝐶, 𝐵⟩)
2316biimpa 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩) → ⟨𝐶, 𝐵⟩ Seg𝐶, 𝐴⟩)
2423adantrl 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩)) → ⟨𝐶, 𝐵⟩ Seg𝐶, 𝐴⟩)
25 btwncom 33372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ 𝐴 Btwn ⟨𝐶, 𝐵⟩))
26 3anrot 1092 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
27 btwnsegle 33475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝐶, 𝐵⟩ → ⟨𝐶, 𝐴⟩ Seg𝐶, 𝐵⟩))
2826, 27sylan2br 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝐶, 𝐵⟩ → ⟨𝐶, 𝐴⟩ Seg𝐶, 𝐵⟩))
2925, 28sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ → ⟨𝐶, 𝐴⟩ Seg𝐶, 𝐵⟩))
3029imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩) → ⟨𝐶, 𝐴⟩ Seg𝐶, 𝐵⟩)
3130adantrr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩)) → ⟨𝐶, 𝐴⟩ Seg𝐶, 𝐵⟩)
32 segleantisym 33473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐶, 𝐵⟩ Seg𝐶, 𝐴⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐴⟩ Seg𝐶, 𝐵⟩) → ⟨𝐶, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐴⟩))
338, 10, 9, 10, 12, 32syl122anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐶, 𝐵⟩ Seg𝐶, 𝐴⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐴⟩ Seg𝐶, 𝐵⟩) → ⟨𝐶, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐴⟩))
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩)) → ((⟨𝐶, 𝐵⟩ Seg𝐶, 𝐴⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝐴⟩ Seg𝐶, 𝐵⟩) → ⟨𝐶, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐴⟩))
3524, 31, 34mp2and 695 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩)) → ⟨𝐶, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐴⟩)
368, 10, 9, 12, 22, 35endofsegidand 33444 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩)) → 𝐵 = 𝐴)
37 btwntriv1 33374 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
38373adant3r2 1175 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
39 breq1 5060 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ 𝐴 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩))
4038, 39syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 = 𝐴𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩))
4140adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩)) → (𝐵 = 𝐴𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩))
4236, 41mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
4342expr 457 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩) → (⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩ → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩))
4443adantld 491 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩))
4544ex 413 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)))
467biimprd 249 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩))
4746a1dd 50 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)))
48 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩)) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)
49 simprr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩)) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩)
50 3ancomb 1091 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
51 btwnsegle 33475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ⟨𝐴, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐵⟩))
5250, 51sylan2b 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ⟨𝐴, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐵⟩))
5352imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐵⟩)
5453adantrr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩)) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐵⟩)
55 segleantisym 33473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐵⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩))
568, 12, 9, 12, 10, 55syl122anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐵⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩))
5756adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩)) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐵⟩) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩))
5849, 54, 57mp2and 695 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩)) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐴, 𝐶⟩)
598, 12, 9, 10, 48, 58endofsegidand 33444 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩)) → 𝐵 = 𝐶)
60 btwntriv2 33370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
61603adant3r2 1175 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
62 breq1 5060 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩))
6361, 62syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐵 = 𝐶𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩))
6463adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩)) → (𝐵 = 𝐶𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩))
6559, 64mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
6665expr 457 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩ → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩))
6766adantrd 492 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩))
6867ex 413 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)))
6945, 47, 683jaod 1420 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)))
7020, 69sylbid 241 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Colinear ⟨𝐵, 𝐶⟩ → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)))
7170imp 407 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐴 Colinear ⟨𝐵, 𝐶⟩) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩))
7219, 71impbid 213 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝐴 Colinear ⟨𝐵, 𝐶⟩) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩)))
7372ex 413 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 Colinear ⟨𝐵, 𝐶⟩ → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ Seg𝐴, 𝐶⟩))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3o 1078  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cop 4563   class class class wbr 5057  cfv 6348  cn 11626  𝔼cee 26601   Btwn cbtwn 26602  Cgrccgr 26603   Colinear ccolin 33395   Seg csegle 33464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-ee 26604  df-btwn 26605  df-cgr 26606  df-ofs 33341  df-colinear 33397  df-ifs 33398  df-cgr3 33399  df-segle 33465
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator