MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colinearalglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colinearalglem2 25682
Description: Lemma for colinearalg 25685. Translate between two forms of the colinearity condition. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
colinearalglem2 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗

Proof of Theorem colinearalglem2
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
2 simpl 473 . . . 4 ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑖 ∈ (1...𝑁))
3 fveecn 25677 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
41, 2, 3syl2an 494 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
5 simp2 1060 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6 fveecn 25677 . . . 4 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
75, 2, 6syl2an 494 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
8 simp3 1061 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
9 fveecn 25677 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
108, 2, 9syl2an 494 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
11 simpr 477 . . . 4 ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
12 fveecn 25677 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
131, 11, 12syl2an 494 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
14 fveecn 25677 . . . 4 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑗) ∈ ℂ)
155, 11, 14syl2an 494 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐵𝑗) ∈ ℂ)
16 fveecn 25677 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
178, 11, 16syl2an 494 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
18 simp1 1059 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
19 simp3 1061 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → (𝐶𝑗) ∈ ℂ)
20 mulcl 9965 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
2118, 19, 20syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
22 simp2 1060 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
23 simp1 1059 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
24 mulcl 9965 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) ∈ ℂ)
2522, 23, 24syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) ∈ ℂ)
2621, 25addcld 10004 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) ∈ ℂ)
27 mulcl 9965 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
2822, 19, 27syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ)
2926, 28subcld 10337 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) ∈ ℂ)
30 simp2 1060 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) → (𝐵𝑗) ∈ ℂ)
31 mulcl 9965 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
3218, 30, 31syl2an 494 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
33 simp3 1061 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
34 mulcl 9965 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) ∈ ℂ)
3533, 23, 34syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) ∈ ℂ)
36 mulcl 9965 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
3733, 30, 36syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)
3835, 37subcld 10337 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) ∈ ℂ)
3929, 32, 38subadd2d 10356 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) ↔ ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)))))
40 eqcom 2633 . . . . . . . 8 (((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) ↔ ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) = ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))
4139, 40syl6bb 276 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) ↔ ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) = ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))))
4235, 32, 37addsubd 10358 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) = ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))
4335, 32addcomd 10183 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = (((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))))
4443oveq1d 6620 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))))
4542, 44eqtr3d 2662 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))))
4645eqeq2d 2636 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) = ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) ↔ ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))))
4741, 46bitrd 268 . . . . . 6 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) ↔ ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))))
4826, 28, 32subsub4d 10368 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))))
4928, 32addcld 10004 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) ∈ ℂ)
5021, 49, 25subsub3d 10367 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − ((((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))))
5128, 25, 32subsub3d 10367 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))) = ((((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))))
5251eqcomd 2632 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))))
5352oveq2d 6621 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − ((((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)))) = (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))))
5425, 32subcld 10337 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) ∈ ℂ)
5521, 28, 54subsubd 10365 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) + (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))))
5653, 55eqtrd 2660 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − ((((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) + (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))))
5748, 50, 563eqtr2d 2666 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) + (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))))
5821, 28subcld 10337 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) ∈ ℂ)
5958, 25, 32addsub12d 10360 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) + (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))) = (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))))
6021, 28, 32subsub4d 10368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))))
6160oveq2d 6621 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))) = (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))))
6259, 61eqtrd 2660 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) + (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))) = (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))))
6357, 62eqtrd 2660 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))))
6463eqeq1d 2628 . . . . . 6 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) − ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) ↔ (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))))
6532, 35addcld 10004 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))) ∈ ℂ)
66 subeqrev 10398 . . . . . . 7 ((((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) ∈ ℂ ∧ ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) ∈ ℂ) ∧ ((((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))) ∈ ℂ ∧ ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)) ∈ ℂ)) → (((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) ↔ (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)))) = (((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)) − (((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))))))
6726, 28, 65, 37, 66syl22anc 1324 . . . . . 6 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗))) = ((((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) ↔ (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)))) = (((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)) − (((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))))))
6847, 64, 673bitr3rd 299 . . . . 5 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)))) = (((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)) − (((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)))) ↔ (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))))
6921, 49subcld 10337 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))) ∈ ℂ)
7025, 69, 38addrsub 10393 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) ↔ (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))) = ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)))))
7135, 37, 25sub32d 10369 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) = ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))))
7235, 25, 37subsub4d 10368 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))))
7371, 72eqtrd 2660 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))))
7473eqeq2d 2636 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))) = ((((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) − ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗))) ↔ (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))))))
7570, 74bitrd 268 . . . . . 6 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) ↔ (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))))))
76 eqcom 2633 . . . . . 6 ((((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))) ↔ (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))) = (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)))))
7775, 76syl6bb 276 . . . . 5 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))) = (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗))) ↔ (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))) = (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))))
7868, 77bitrd 268 . . . 4 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)))) = (((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)) − (((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)))) ↔ (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))) = (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))))
79 colinearalglem1 25681 . . . 4 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)))) = (((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)) − (((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗))))))
80 3anrot 1041 . . . . 5 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ↔ ((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑖) ∈ ℂ))
81 3anrot 1041 . . . . 5 (((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ) ↔ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ))
82 colinearalglem1 25681 . . . . 5 ((((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ↔ (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))) = (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))))
8380, 81, 82syl2anb 496 . . . 4 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ↔ (((𝐶𝑖) · (𝐴𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐴𝑗)) + ((𝐶𝑖) · (𝐵𝑗)))) = (((𝐴𝑖) · (𝐶𝑗)) − (((𝐵𝑖) · (𝐶𝑗)) + ((𝐴𝑖) · (𝐵𝑗))))))
8478, 79, 833bitr4d 300 . . 3 ((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐴𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑗) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑗) ∈ ℂ)) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))))
854, 7, 10, 13, 15, 17, 84syl33anc 1338 . 2 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁))) → ((((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ (((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))))
86852ralbidva 2987 1 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝐴𝑖)) · ((𝐶𝑗) − (𝐴𝑗))) = (((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) · ((𝐶𝑖) − (𝐴𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐵𝑖)) · ((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))) = (((𝐶𝑗) − (𝐵𝑗)) · ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886  cmin 10211  ...cfz 12265  𝔼cee 25663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-ltxr 10024  df-sub 10213  df-neg 10214  df-ee 25666
This theorem is referenced by:  colinearalglem3  25683  colinearalg  25685
  Copyright terms: Public domain W3C validator