MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colmid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colmid 25483
Description: Colinearity and equidistance implies midpoint. Theorem 7.20 of [Schwabhauser] p. 52. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
colmid.m 𝑀 = (𝑆𝑋)
colmid.a (𝜑𝐴𝑃)
colmid.b (𝜑𝐵𝑃)
colmid.x (𝜑𝑋𝑃)
colmid.c (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
colmid.d (𝜑 → (𝑋 𝐴) = (𝑋 𝐵))
Assertion
Ref Expression
colmid (𝜑 → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem colmid
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
21olcd 408 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
3 mirval.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 mirval.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
5 mirval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 mirval.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7 mirval.s . . . . 5 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8 mirval.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
98ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10 colmid.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑃)
1110ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋𝑃)
12 colmid.m . . . . 5 𝑀 = (𝑆𝑋)
13 colmid.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
1413ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
15 colmid.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
1615ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
17 colmid.d . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 𝐴) = (𝑋 𝐵))
1817ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝑋 𝐴) = (𝑋 𝐵))
1918eqcomd 2627 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝑋 𝐵) = (𝑋 𝐴))
20 simpr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
213, 4, 5, 9, 14, 11, 16, 20tgbtwncom 25283 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑋 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
223, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 16, 19, 21ismir 25454 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵 = (𝑀𝐴))
2322orcd 407 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
248adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2515adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
2613adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
2710adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝑋𝑃)
28 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵))
293, 4, 5, 24, 27, 26, 25, 28tgbtwncom 25283 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑋))
303, 4, 5, 24, 26, 27tgbtwntriv1 25286 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
313, 4, 5, 8, 10, 13, 10, 15, 17tgcgrcomlr 25275 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 𝑋) = (𝐵 𝑋))
3231adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐴 𝑋) = (𝐵 𝑋))
3332eqcomd 2627 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 𝑋) = (𝐴 𝑋))
34 eqidd 2622 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐴 𝑋) = (𝐴 𝑋))
353, 4, 5, 24, 25, 26, 27, 26, 26, 27, 29, 30, 33, 34tgcgrsub 25304 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 𝐴) = (𝐴 𝐴))
363, 4, 5, 24, 25, 26, 26, 35axtgcgrid 25262 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐵 = 𝐴)
3736eqcomd 2627 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
3837adantlr 750 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
3938olcd 408 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵)) → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
408adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4113adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴𝑃)
4215adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵𝑃)
4310adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝑋𝑃)
44 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋))
453, 4, 5, 40, 42, 43tgbtwntriv1 25286 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐵 ∈ (𝐵𝐼𝑋))
4631adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐴 𝑋) = (𝐵 𝑋))
47 eqidd 2622 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐵 𝑋) = (𝐵 𝑋))
483, 4, 5, 40, 41, 42, 43, 42, 42, 43, 44, 45, 46, 47tgcgrsub 25304 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐵))
493, 4, 5, 40, 41, 42, 42, 48axtgcgrid 25262 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
5049adantlr 750 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
5150olcd 408 . . 3 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)) → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
52 df-ne 2791 . . . . 5 (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
53 colmid.c . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
5453orcomd 403 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
5554orcanai 951 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
5652, 55sylan2b 492 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
578adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5813adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝑃)
5915adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝑃)
60 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
6110adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝑋𝑃)
623, 6, 5, 57, 58, 59, 60, 61tgellng 25348 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑋 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋))))
6356, 62mpbid 222 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑋 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑋)))
6423, 39, 51, 63mpjao3dan 1392 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
652, 64pm2.61dane 2877 1 (𝜑 → (𝐵 = (𝑀𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384  w3o 1035   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  distcds 15871  TarskiGcstrkg 25229  Itvcitv 25235  LineGclng 25236  pInvGcmir 25447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058  df-trkgc 25247  df-trkgb 25248  df-trkgcb 25249  df-trkg 25252  df-mir 25448
This theorem is referenced by:  symquadlem  25484  midexlem  25487
  Copyright terms: Public domain W3C validator