MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  colopp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem colopp 25706
Description: Opposite sides of a line for colinear points. Theorem 9.18 of [Schwabhauser] p. 73. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a (𝜑𝐴𝑃)
hpgid.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
colopp.b (𝜑𝐵𝑃)
colopp.p (𝜑𝐶𝐷)
colopp.1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
Assertion
Ref Expression
colopp (𝜑 → (𝐴𝑂𝐵 ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝑡,𝐶   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem colopp
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hpgid.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 hpgid.i . . . . . . . 8 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 hpgid.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 hpgid.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 hpgid.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑃)
76ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
8 colopp.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑃)
98ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
10 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
11 hpgid.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
12 hpgid.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
1312ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
14 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷))
1514simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ¬ 𝐴𝐷)
1614simprd 478 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ¬ 𝐵𝐷)
17 simplr 807 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦𝐷)
18 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
1918adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
20 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
2117, 19, 20rspcedvd 3348 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
2215, 16, 21jca31 556 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
231, 10, 2, 11, 6, 8islnopp 25676 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝑂𝐵 ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
2423ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴𝑂𝐵 ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
2522, 24mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝑂𝐵)
261, 10, 2, 11, 3, 13, 5, 7, 9, 25oppne3 25680 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝐵)
271, 2, 3, 5, 7, 9, 26tgelrnln 25570 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
281, 2, 3, 5, 7, 9, 26tglinerflx1 25573 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
291, 10, 2, 11, 3, 13, 5, 7, 9, 25oppne1 25678 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ¬ 𝐴𝐷)
30 nelne1 2919 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
3128, 29, 30syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ 𝐷)
3226neneqd 2828 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
33 colopp.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
3433orcomd 402 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
3534ord 391 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
3635ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
3732, 36mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
38 colopp.p . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶𝐷)
3938ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶𝐷)
4037, 39elind 3831 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ ((𝐴𝐿𝐵) ∩ 𝐷))
411, 3, 2, 5, 13, 17tglnpt 25489 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦𝑃)
421, 2, 3, 5, 7, 9, 41, 26, 20btwnlng1 25559 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
4342, 17elind 3831 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝑦 ∈ ((𝐴𝐿𝐵) ∩ 𝐷))
441, 2, 3, 5, 27, 13, 31, 40, 43tglineineq 25583 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 = 𝑦)
4544, 20eqeltrd 2730 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
4645adantllr 755 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑦𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
47 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
4818cbvrexv 3202 . . . . . 6 (∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ ∃𝑦𝐷 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
4947, 48sylib 208 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑦𝐷 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
5046, 49r19.29a 3107 . . . 4 (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
5138adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶𝐷)
52 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝐶) → 𝑡 = 𝐶)
5352eleq1d 2715 . . . . . 6 (((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝐶) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
54 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
5551, 53, 54rspcedvd 3348 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
5655adantlr 751 . . . 4 (((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
5750, 56impbida 895 . . 3 ((𝜑 ∧ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)) → (∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
5857pm5.32da 674 . 2 (𝜑 → (((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
59 3anrot 1060 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) ↔ (¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
60 df-3an 1056 . . . 4 ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
6159, 60bitri 264 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
6261a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) ↔ ((¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))))
6358, 23, 623bitr4d 300 1 (𝜑 → (𝐴𝑂𝐵 ↔ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ¬ 𝐴𝐷 ∧ ¬ 𝐵𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  cdif 3604   class class class wbr 4685  {copab 4745  ran crn 5144  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  distcds 15997  TarskiGcstrkg 25374  Itvcitv 25380  LineGclng 25381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-trkgc 25392  df-trkgb 25393  df-trkgcb 25394  df-trkg 25397  df-cgrg 25451
This theorem is referenced by:  colhp  25707
  Copyright terms: Public domain W3C validator