MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coltr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coltr 25737
Description: A transitivity law for colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
coltr.a (𝜑𝐴𝑃)
coltr.b (𝜑𝐵𝑃)
coltr.c (𝜑𝐶𝑃)
coltr.d (𝜑𝐷𝑃)
coltr.1 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
coltr.2 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
Assertion
Ref Expression
coltr (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem coltr
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tglineintmo.i . . . . . . . 8 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 tglineintmo.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 tglineintmo.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 coltr.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑃)
76adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶𝐷) → 𝐶𝑃)
8 coltr.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝑃)
98adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶𝐷) → 𝐷𝑃)
10 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶𝐷) → 𝐶𝐷)
111, 2, 3, 5, 7, 9, 10tglinerflx1 25723 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
1211ex 449 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶𝐷𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
1312necon1bd 2946 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
1413orrd 392 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
1514adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → (𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
16 simplr 809 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 = 𝐶)
17 simpr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
1816, 17eqeltrd 2835 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
1918ex 449 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → (𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)))
2019orim1d 920 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → ((𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)))
2115, 20mpd 15 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
22 coltr.2 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
2322ad2antrr 764 . . 3 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
244ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25 coltr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
2625ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐴𝑃)
276ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐶𝑃)
288ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐷𝑃)
29 coltr.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
3029ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐵𝑃)
31 simpr 479 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
324adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3325adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐴𝑃)
346adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐶𝑃)
3529adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐵𝑃)
36 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐴𝐶)
37 coltr.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
3837adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
391, 3, 2, 32, 35, 34, 38tglngne 25640 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐵𝐶)
4039necomd 2983 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐶𝐵)
411, 2, 3, 32, 34, 35, 33, 40, 38lncom 25712 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐵))
421, 2, 3, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 40lnrot2 25714 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶))
4342adantr 472 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐿𝐶))
441, 3, 2, 4, 29, 6, 37tglngne 25640 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐶)
4544ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → 𝐵𝐶)
461, 2, 3, 24, 26, 27, 28, 30, 31, 43, 45ncolncol 25736 . . 3 (((𝜑𝐴𝐶) ∧ ¬ (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷)) → ¬ (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
4723, 46condan 870 . 2 ((𝜑𝐴𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
4821, 47pm2.61dane 3015 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135  wne 2928  cfv 6045  (class class class)co 6809  Basecbs 16055  TarskiGcstrkg 25524  Itvcitv 25530  LineGclng 25531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-pm 8022  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-card 8951  df-cda 9178  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-n0 11481  df-xnn0 11552  df-z 11566  df-uz 11876  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-hash 13308  df-word 13481  df-concat 13483  df-s1 13484  df-s2 13789  df-s3 13790  df-trkgc 25542  df-trkgb 25543  df-trkgcb 25544  df-trkg 25547  df-cgrg 25601
This theorem is referenced by:  hlpasch  25843  colhp  25857
  Copyright terms: Public domain W3C validator