Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  connima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem connima 21168
 Description: The image of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
connima.x 𝑋 = 𝐽
connima.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
connima.a (𝜑𝐴𝑋)
connima.c (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Conn)
Assertion
Ref Expression
connima (𝜑 → (𝐾t (𝐹𝐴)) ∈ Conn)

Proof of Theorem connima
StepHypRef Expression
1 connima.c . 2 (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Conn)
2 connima.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 connima.x . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
4 eqid 2621 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
53, 4cnf 20990 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋 𝐾)
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋 𝐾)
7 ffun 6015 . . . . 5 (𝐹:𝑋 𝐾 → Fun 𝐹)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
9 connima.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
10 fdm 6018 . . . . . 6 (𝐹:𝑋 𝐾 → dom 𝐹 = 𝑋)
116, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
129, 11sseqtr4d 3627 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
13 fores 6091 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴))
148, 12, 13syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴))
15 cntop2 20985 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
162, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Top)
17 imassrn 5446 . . . . . 6 (𝐹𝐴) ⊆ ran 𝐹
18 frn 6020 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋 𝐾 → ran 𝐹 𝐾)
196, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 𝐾)
2017, 19syl5ss 3599 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) ⊆ 𝐾)
214restuni 20906 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐹𝐴) ⊆ 𝐾) → (𝐹𝐴) = (𝐾t (𝐹𝐴)))
2216, 20, 21syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝐾t (𝐹𝐴)))
23 foeq3 6080 . . . 4 ((𝐹𝐴) = (𝐾t (𝐹𝐴)) → ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴))))
2422, 23syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴))))
2514, 24mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴)))
263cnrest 21029 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
272, 9, 26syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
284toptopon 20662 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
2916, 28sylib 208 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
30 df-ima 5097 . . . . 5 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
31 eqimss2 3643 . . . . 5 ((𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴) → ran (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴))
3230, 31mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ran (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴))
33 cnrest2 21030 . . . 4 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ ran (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐴) ⊆ 𝐾) → ((𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴)))))
3429, 32, 20, 33syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴)))))
3527, 34mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴))))
36 eqid 2621 . . 3 (𝐾t (𝐹𝐴)) = (𝐾t (𝐹𝐴))
3736cnconn 21165 . 2 (((𝐽t 𝐴) ∈ Conn ∧ (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴)) ∧ (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴)))) → (𝐾t (𝐹𝐴)) ∈ Conn)
381, 25, 35, 37syl3anc 1323 1 (𝜑 → (𝐾t (𝐹𝐴)) ∈ Conn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3560  ∪ cuni 4409  dom cdm 5084  ran crn 5085   ↾ cres 5086   “ cima 5087  Fun wfun 5851  ⟶wf 5853  –onto→wfo 5855  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615   ↾t crest 16021  Topctop 20638  TopOnctopon 20655   Cn ccn 20968  Conncconn 21154 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-fin 7919  df-fi 8277  df-rest 16023  df-topgen 16044  df-top 20639  df-topon 20656  df-bases 20690  df-cld 20763  df-cn 20971  df-conn 21155 This theorem is referenced by:  tgpconncompeqg  21855  tgpconncomp  21856
 Copyright terms: Public domain W3C validator