MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  connima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem connima 21168
Description: The image of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
connima.x 𝑋 = 𝐽
connima.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
connima.a (𝜑𝐴𝑋)
connima.c (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Conn)
Assertion
Ref Expression
connima (𝜑 → (𝐾t (𝐹𝐴)) ∈ Conn)

Proof of Theorem connima
StepHypRef Expression
1 connima.c . 2 (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Conn)
2 connima.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 connima.x . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
4 eqid 2621 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
53, 4cnf 20990 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋 𝐾)
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋 𝐾)
7 ffun 6015 . . . . 5 (𝐹:𝑋 𝐾 → Fun 𝐹)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
9 connima.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
10 fdm 6018 . . . . . 6 (𝐹:𝑋 𝐾 → dom 𝐹 = 𝑋)
116, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
129, 11sseqtr4d 3627 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
13 fores 6091 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴))
148, 12, 13syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴))
15 cntop2 20985 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
162, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Top)
17 imassrn 5446 . . . . . 6 (𝐹𝐴) ⊆ ran 𝐹
18 frn 6020 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋 𝐾 → ran 𝐹 𝐾)
196, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 𝐾)
2017, 19syl5ss 3599 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) ⊆ 𝐾)
214restuni 20906 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐹𝐴) ⊆ 𝐾) → (𝐹𝐴) = (𝐾t (𝐹𝐴)))
2216, 20, 21syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝐾t (𝐹𝐴)))
23 foeq3 6080 . . . 4 ((𝐹𝐴) = (𝐾t (𝐹𝐴)) → ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴))))
2422, 23syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴))))
2514, 24mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴)))
263cnrest 21029 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
272, 9, 26syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
284toptopon 20662 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
2916, 28sylib 208 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
30 df-ima 5097 . . . . 5 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
31 eqimss2 3643 . . . . 5 ((𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴) → ran (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴))
3230, 31mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ran (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴))
33 cnrest2 21030 . . . 4 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ ran (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐴) ⊆ 𝐾) → ((𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴)))))
3429, 32, 20, 33syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴)))))
3527, 34mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴))))
36 eqid 2621 . . 3 (𝐾t (𝐹𝐴)) = (𝐾t (𝐹𝐴))
3736cnconn 21165 . 2 (((𝐽t 𝐴) ∈ Conn ∧ (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴)) ∧ (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴)))) → (𝐾t (𝐹𝐴)) ∈ Conn)
381, 25, 35, 37syl3anc 1323 1 (𝜑 → (𝐾t (𝐹𝐴)) ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3560   cuni 4409  dom cdm 5084  ran crn 5085  cres 5086  cima 5087  Fun wfun 5851  wf 5853  ontowfo 5855  cfv 5857  (class class class)co 6615  t crest 16021  Topctop 20638  TopOnctopon 20655   Cn ccn 20968  Conncconn 21154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-fin 7919  df-fi 8277  df-rest 16023  df-topgen 16044  df-top 20639  df-topon 20656  df-bases 20690  df-cld 20763  df-cn 20971  df-conn 21155
This theorem is referenced by:  tgpconncompeqg  21855  tgpconncomp  21856
  Copyright terms: Public domain W3C validator