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Theorem connpconn 31191
Description: A connected and locally path-connected space is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
connpconn ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) → 𝐽 ∈ PConn)

Proof of Theorem connpconn
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 𝑔 𝑠 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 conntop 21201 . . 3 (𝐽 ∈ Conn → 𝐽 ∈ Top)
21adantr 481 . 2 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) → 𝐽 ∈ Top)
3 eqid 2620 . . . . . 6 𝐽 = 𝐽
4 simpll 789 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 ∈ Conn)
5 inss1 3825 . . . . . . 7 (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)) ⊆ 𝐽
6 simplr 791 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn)
71ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
83topopn 20692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ Top → 𝐽𝐽)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → 𝐽𝐽)
10 simprr 795 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → 𝑧 𝐽)
11 nlly2i 21260 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn ∧ 𝐽𝐽𝑧 𝐽) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))
126, 9, 10, 11syl3anc 1324 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))
13 simprr1 1107 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → 𝑧𝑢)
14 eqeq2 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑓‘1) = 𝑦 ↔ (𝑓‘1) = 𝑤))
1514anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑤 → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ ((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤)))
1615rexbidv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑤 → (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤)))
1716elrab 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ↔ (𝑤 𝐽 ∧ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤)))
1817simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤))
19 simprr3 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → (𝐽t 𝑠) ∈ PConn)
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → (𝐽t 𝑠) ∈ PConn)
21 simprr2 1108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → 𝑢𝑠)
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑢𝑠)
23 simprll 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑤𝑢)
2422, 23sseldd 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑤𝑠)
257ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝐽 ∈ Top)
26 elpwi 4159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽𝑠 𝐽)
2726ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → 𝑠 𝐽)
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑠 𝐽)
293restuni 20947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑠 𝐽) → 𝑠 = (𝐽t 𝑠))
3025, 28, 29syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑠 = (𝐽t 𝑠))
3124, 30eleqtrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑤 (𝐽t 𝑠))
32 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑦𝑢)
3322, 32sseldd 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑦𝑠)
3433, 30eleqtrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → 𝑦 (𝐽t 𝑠))
35 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐽t 𝑠) = (𝐽t 𝑠)
3635pconncn 31180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐽t 𝑠) ∈ PConn ∧ 𝑤 (𝐽t 𝑠) ∧ 𝑦 (𝐽t 𝑠)) → ∃ ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠))((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))
3720, 31, 34, 36syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → ∃ ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠))((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))
38 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
3938ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → 𝑔 ∈ (II Cn 𝐽))
4025adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → 𝐽 ∈ Top)
41 cnrest2r 21072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐽 ∈ Top → (II Cn (𝐽t 𝑠)) ⊆ (II Cn 𝐽))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (II Cn (𝐽t 𝑠)) ⊆ (II Cn 𝐽))
43 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)))
4442, 43sseldd 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ∈ (II Cn 𝐽))
45 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢) → ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))
4645ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))
4746simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (𝑔‘1) = 𝑤)
48 simprrl 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (‘0) = 𝑤)
4947, 48eqtr4d 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (𝑔‘1) = (‘0))
5039, 44, 49pcocn 22798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (𝑔(*𝑝𝐽)) ∈ (II Cn 𝐽))
5139, 44pco0 22795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ((𝑔(*𝑝𝐽))‘0) = (𝑔‘0))
5246simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (𝑔‘0) = 𝑥)
5351, 52eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ((𝑔(*𝑝𝐽))‘0) = 𝑥)
5439, 44pco1 22796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1) = (‘1))
55 simprrr 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → (‘1) = 𝑦)
5654, 55eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1) = 𝑦)
57 fveq1 6177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓 = (𝑔(*𝑝𝐽)) → (𝑓‘0) = ((𝑔(*𝑝𝐽))‘0))
5857eqeq1d 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 = (𝑔(*𝑝𝐽)) → ((𝑓‘0) = 𝑥 ↔ ((𝑔(*𝑝𝐽))‘0) = 𝑥))
59 fveq1 6177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓 = (𝑔(*𝑝𝐽)) → (𝑓‘1) = ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1))
6059eqeq1d 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 = (𝑔(*𝑝𝐽)) → ((𝑓‘1) = 𝑦 ↔ ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1) = 𝑦))
6158, 60anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 = (𝑔(*𝑝𝐽)) → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ (((𝑔(*𝑝𝐽))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1) = 𝑦)))
6261rspcev 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑔(*𝑝𝐽)) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((𝑔(*𝑝𝐽))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑔(*𝑝𝐽))‘1) = 𝑦)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6350, 53, 56, 62syl12anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) ∧ ( ∈ (II Cn (𝐽t 𝑠)) ∧ ((‘0) = 𝑤 ∧ (‘1) = 𝑦))) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6437, 63rexlimddv 3031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ ((𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) ∧ 𝑦𝑢)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6564anassrs 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ (𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤)))) ∧ 𝑦𝑢) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6665ralrimiva 2963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ (𝑤𝑢 ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤)))) → ∀𝑦𝑢𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6766anassrs 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) ∧ (𝑔 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))) → ∀𝑦𝑢𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
6867rexlimdvaa 3028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → (∃𝑔 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤) → ∀𝑦𝑢𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)))
6921adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → 𝑢𝑠)
70 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐽)
7170, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → 𝑠 𝐽)
7269, 71sstrd 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → 𝑢 𝐽)
7368, 72jctild 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → (∃𝑔 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤) → (𝑢 𝐽 ∧ ∀𝑦𝑢𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))))
74 fveq1 6177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘0) = (𝑔‘0))
7574eqeq1d 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓‘0) = 𝑥 ↔ (𝑔‘0) = 𝑥))
76 fveq1 6177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘1) = (𝑔‘1))
7776eqeq1d 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓‘1) = 𝑤 ↔ (𝑔‘1) = 𝑤))
7875, 77anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤) ↔ ((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤)))
7978cbvrexv 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤) ↔ ∃𝑔 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑔‘0) = 𝑥 ∧ (𝑔‘1) = 𝑤))
80 ssrab 3672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ↔ (𝑢 𝐽 ∧ ∀𝑦𝑢𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)))
8173, 79, 803imtr4g 285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → (∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑤) → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))
8218, 81syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) ∧ 𝑤𝑢) → (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))
8382ralrimiva 2963 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))
8413, 83jca 554 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn))) → (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)})))
8584expr 642 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐽) → ((𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn) → (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))))
8685reximdv 3013 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐽) → (∃𝑢𝐽 (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn) → ∃𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))))
8786rexlimdva 3027 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ PConn) → ∃𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))))
8812, 87mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ (𝑥 𝐽𝑧 𝐽)) → ∃𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)})))
8988anassrs 679 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) ∧ 𝑧 𝐽) → ∃𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)})))
9089ralrimiva 2963 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → ∀𝑧 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)})))
911ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
92 ssrab2 3679 . . . . . . . . 9 {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ⊆ 𝐽
933isclo2 20873 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ⊆ 𝐽) → ({𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ∈ (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)) ↔ ∀𝑧 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))))
9491, 92, 93sylancl 693 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → ({𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ∈ (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)) ↔ ∀𝑧 𝐽𝑢𝐽 (𝑧𝑢 ∧ ∀𝑤𝑢 (𝑤 ∈ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} → 𝑢 ⊆ {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)}))))
9590, 94mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ∈ (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)))
965, 95sseldi 3593 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ∈ 𝐽)
97 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝑥 𝐽)
98 iitopon 22663 . . . . . . . . . 10 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
9998a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
1003toptopon 20703 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
10191, 100sylib 208 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
102 cnconst2 21068 . . . . . . . . 9 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → ((0[,]1) × {𝑥}) ∈ (II Cn 𝐽))
10399, 101, 97, 102syl3anc 1324 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → ((0[,]1) × {𝑥}) ∈ (II Cn 𝐽))
104 0elunit 12275 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0[,]1)
105 vex 3198 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
106105fvconst2 6454 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (0[,]1) → (((0[,]1) × {𝑥})‘0) = 𝑥)
107104, 106mp1i 13 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → (((0[,]1) × {𝑥})‘0) = 𝑥)
108 1elunit 12276 . . . . . . . . 9 1 ∈ (0[,]1)
109105fvconst2 6454 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (0[,]1) → (((0[,]1) × {𝑥})‘1) = 𝑥)
110108, 109mp1i 13 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → (((0[,]1) × {𝑥})‘1) = 𝑥)
111 eqeq2 2631 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑓‘1) = 𝑦 ↔ (𝑓‘1) = 𝑥))
112111anbi2d 739 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ ((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥)))
113 fveq1 6177 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑥}) → (𝑓‘0) = (((0[,]1) × {𝑥})‘0))
114113eqeq1d 2622 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑥}) → ((𝑓‘0) = 𝑥 ↔ (((0[,]1) × {𝑥})‘0) = 𝑥))
115 fveq1 6177 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑥}) → (𝑓‘1) = (((0[,]1) × {𝑥})‘1))
116115eqeq1d 2622 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑥}) → ((𝑓‘1) = 𝑥 ↔ (((0[,]1) × {𝑥})‘1) = 𝑥))
117114, 116anbi12d 746 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ((0[,]1) × {𝑥}) → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥) ↔ ((((0[,]1) × {𝑥})‘0) = 𝑥 ∧ (((0[,]1) × {𝑥})‘1) = 𝑥)))
118112, 117rspc2ev 3319 . . . . . . . 8 ((𝑥 𝐽 ∧ ((0[,]1) × {𝑥}) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((((0[,]1) × {𝑥})‘0) = 𝑥 ∧ (((0[,]1) × {𝑥})‘1) = 𝑥)) → ∃𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
11997, 103, 107, 110, 118syl112anc 1328 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → ∃𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
120 rabn0 3949 . . . . . . 7 ({𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
121119, 120sylibr 224 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ≠ ∅)
122 inss2 3826 . . . . . . 7 (𝐽 ∩ (Clsd‘𝐽)) ⊆ (Clsd‘𝐽)
123122, 95sseldi 3593 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ∈ (Clsd‘𝐽))
1243, 4, 96, 121, 123connclo 21199 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} = 𝐽)
125124eqcomd 2626 . . . 4 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐽 = {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)})
126 rabid2 3113 . . . 4 ( 𝐽 = {𝑦 𝐽 ∣ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)} ↔ ∀𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
127125, 126sylib 208 . . 3 (((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) ∧ 𝑥 𝐽) → ∀𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
128127ralrimiva 2963 . 2 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) → ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
1293ispconn 31179 . 2 (𝐽 ∈ PConn ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)))
1302, 128, 129sylanbrc 697 1 ((𝐽 ∈ Conn ∧ 𝐽 ∈ 𝑛-Locally PConn) → 𝐽 ∈ PConn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  {crab 2913  cin 3566  wss 3567  c0 3907  𝒫 cpw 4149  {csn 4168   cuni 4427   × cxp 5102  cfv 5876  (class class class)co 6635  0cc0 9921  1c1 9922  [,]cicc 12163  t crest 16062  Topctop 20679  TopOnctopon 20696  Clsdccld 20801   Cn ccn 21009  Conncconn 21195  𝑛-Locally cnlly 21249  IIcii 22659  *𝑝cpco 22781  PConncpconn 31175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-nei 20883  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-conn 21196  df-nlly 21251  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-ii 22661  df-pco 22786  df-pconn 31177
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